\documentstyle[a4,12pt]{article} \input /users/prof/unterber/macros \def \lp {\langle} \def \rp {\rangle} \def \argth {{\mathrm{argth\,}}} \title{Mod\`ele d'Ising unidimensionnel et exposants critiques} \author{J\'er\'emie Unterberger} \date{1er octobre 2001} \begin{document} \maketitle \section{Introduction} Rappelons qu'une particule charg\'ee poss\`ede, par son spin ou son mouvement orbital, un moment magn\'etique. Si l'on place la particule dans un champ magn\'etique ext\'erieur, elle acquiert classiquement une \'energie $$E=-{\bf M}.{\bf B}$$ (${\bf M}$ \'etant le moment et ${\bf B}$ le champ magn\'etique). Cette loi permet de comprendre tr\`es grossi\`erement pourquoi un champ magn\'etique agissant sur un mat\'eriau m\'etallique induit en lui une {\it aimantation}, c'est-\`a-dire que la r\'esultante des moments magn\'etiques microscopiques du mat\'eriau est non nulle; mais cette aimantation est en g\'en\'eral tr\`es faible (on sait qu'un aimant n'attire pas un clou en cuivre), et de plus transitoire : si le champ magn\'etique dispara\^\i t, l'aimantation aussi; c'est ce qui s'appelle un {\it mat\'eriau paramagn\'etique}. Le comportement des mat\'eriaux {\it ferromagn\'etiques} (comme le fer, le nickel, le cobalt et quelques alliages) est totalement diff\'erent du comportement paramagn\'etique ci-dessus : l'aimantation induite par un champ {\bf B} est beaucoup plus forte; mais surtout, si {\bf B} dispara\^\i t, il demeure une aimantation {\it r\'esiduelle} non nulle. C'est ce qui explique l'existence m\^eme des aimants. Une autre caract\'eristique importante de tels mat\'eriaux est qu'ils perdent leur comportement ferromagn\'etique au-dessus d'une certaine {\it temp\'erature critique} $T_C$, dite {\it temp\'erature de Curie} ($770$ degr\'es Celsius pour le fer), et redeviennent paramagn\'etiques. Une \'etude num\'erique ou exp\'erimentale pr\'ecise montre que la courbe de l'aimantation en champ nul $M_0$ en fonction de la temp\'erature $T$ est continue mais pr\'esente une singularit\'e en $T=T_C$, et qu'elle se comporte comme une fonction puissance (en g\'en\'eral non enti\`ere) pour $T\simeq T_C$, $TT_C).$$ Le mat\'eriau ayant des propri\'et\'es tr\`es diff\'erentes pour $TT_C$, on parle de transition de phase, comme pour les fluides: phase ferromagn\'etique ou {\it ordonn\'ee} (spins parall\`eles) pour $TT_C$. Ce ph\'enom\`ene est difficile \`a expliquer microscopiquement de mani\`ere convaincante. Un calcul \'el\'ementaire montre ais\'ement que l'interaction entre les moments magn\'etiques microscopiques, tr\`es faible, est d\'etruite par l'agitation thermique pour toute temp\'erature sup\'erieure \`a 1K (rappelons qu'une particule \`a une temp\'erature $T$ poss\`ede une \'energie thermique $k_b T$, o\`u $k_b$ est la constante de Boltzmann, de sorte qu'une temp\'erature de 1K correspond \`a une \'energie de l'ordre de $10^{-4}$ eV). On invoque en g\'en\'eral le terme d'{\it interaction d'\'echange}-- provenant du principe d'exclusion de Pauli pour les \'electrons -- (cf. [DGLR], r\'ef\'erence cit\'ee dans la section suivante), qui l'emporte de loin sur l'agitation thermique aux temp\'eratures ordinaires (il correspond \`a des \'energies de l'ordre de 1 ev). Mais il est tr\`es difficile de donner un mod\`ele vraisemblable qui permettrait d'expliquer pourquoi tel ou tel mat\'eriau est ou n'est pas ferromagn\'etique, ou de donner une valeur approximative de la temp\'erature de Curie pour chaque mat\'eriau ferromagn\'etique. En revanche, des mod\`eles tr\`es simples qu'on pourrait quasiment qualifier de ``toy models'', comme le mod\`ele d'Ising, jouissent d'un \'enorme succ\`es en physique des transitions de phase en ce qui concerne la pr\'ediction de certaines propri\'et\'es : -- propri\'et\'es qualitatives : le nombre de phases, leur nature, la localisation des temp\'eratures de transition (mais non leur valeur); -- propri\'et\'es {\it critiques} : le comportement {asymptotique des quantit\'es statistiques aux alentours des temp\'eratures de transition (le calcul de l'exposant critique $\beta$ par exemple). Toutes les approches (exp\'erimentale, num\'erique, th\'eorique) tendent \`a montrer que l'hypoth\`ese d'{\it universalit\'e} est correcte, \`a savoir que les mod\`eles se regroupent dans de larges classes d'universalit\'e essentiellement caract\'eris\'ees par les sym\'etries et la dimensionnalit\'e du probl\`eme, \`a l'int\'erieur de chacune desquelles les propri\'et\'es qualitatives et semi-quantitatives autour des temp\'eratures critiques sont ind\'ependantes du mod\`ele pr\'ecis. Une justification th\'eorique est apport\'ee dans une certaine mesure par la th\'eorie de la renormalisation, dont il serait beaucoup trop long de parler ici. En analysant ci-dessous le mod\`ele d'Ising (en fait, les mod\`eles d'Ising en dimension 1,2,...), nous \'etudierons donc en fait sans le dire tous les ph\'enom\`enes -- transition ordre-d\'esordre dans les alliages binaires, densit\'e d'un fluide... -- appartenant \`a la classe d'universalit\'e du mod\`ele d'Ising pour une certaine dimension. \section{Fonctions thermodynamiques et exposants critiques} Introduisons donc le mod\`ele d'Ising en dimension $d$. On consid\`ere des variables de spin $S_i\in\{+1,-1\}$ plac\'ees en les sommets d'un r\'eseau hypercubique de dimension $d$ (la forme du r\'eseau ne modifie pas le comportement critique, comme le montre la th\'eorie de la renormalisation) et de taille $N^{1/d}\times\ldots\times N^{1/d}$, de sorte que le nombre total de sites est \'egal \`a $N$. Une configuration est la donn\'ee de la valeur de $S_i$ pour tout site $i$; il existe donc $2^N$ configurations. L'\'energie d'une configuration $S$ est donn\'ee par $$E_B(S)=-\sum_i B S_i -\sum_{\lp i,j\rp} J S_i S_j,$$ $B$ d\'esignant un champ magn\'etique ext\'erieur (suppos\'e constant) et $\lp i,j \rp$ les paires de plus proches voisins; la constante positive $J$ est appel\'ee coefficient ou constante de couplage. Dans le {\it formalisme canonique} de la physique statistique, la moyenne $\lp {\cal O} \rp$ d'une observable (classique) ${\cal O}$, fonction sur l'espace des configurations, est donn\'ee par $$\lp {\cal O} \rp_T = {1\over Z} \sum_{S} {\cal O}(S) e^{-{E(S)\over k_b T}},$$ (rappelons que $k_B$ est la constante de Boltzmann), et $Z$ -- appel\'ee fonction de partition -- est la somme des poids statistiques de chaque configuration : $$Z= \sum_{S} e^{-{E(S)\over k_b T}}.$$ On v\'erifie que le signe de $J$ favorise l'alignement des spins, le minimum d'\'energie \'etant atteint,lorsque $B=0$, pour les deux configurations ``spin up'' ($S_i=1$ pour tout $i$) et ``spin down'' ($S_i=-1$ pour tout $i$). Un calcul perturbatif montre que le terme $-J S_i S_j$ est \'egal, \`a une constante pr\`es (dont rien ne prouve d'ailleurs qu'elle soit positive!) au terme de plus bas degr\'e dans l'interaction d'\'echange (cf. [DGLR], pp. 451-453). La pr\'esence d'un champ magn\'etique tr\`es faible donne une l\'eg\`ere pr\'ef\'erence pour l'un ou l'autre de ces deux \'etats. On peut donc a priori obtenir une aimantation r\'esiduelle positive en soumettant le r\'eseau \`a un champ $B$ tendant vers $0$ par valeurs sup\'erieures. C'est pourquoi on d\'efinit l'aimantation moyenne \`a champ nul $M_0$ (l'aimantation r\'esiduelle mesur\'ee exp\'erimentalement en fait) comme $$M_0(T)=\lim_{B\to 0, B>0} M(B,T),$$ o\`u $M(B,T)$ est d\'efini comme la {\it limite thermodynamique} (c'est-\`a-dire, quand la taille du r\'eseau tend vers l'infini) de la moyenne statistique de l'aimantation : $$M(B,T)= \lim_{N\to\infty} \lp {1\over N} \sum_i S_i\rp_T.$$ Il est clair que $M(0,T)$ est nul puisque $E(B=0)$ est invariante par le changement du signe de tous les spins; la fonction $M(B,T)$ n'est donc pas continue en $B=0$. C'est la limite thermodynamique qui induit cette non-continuit\'e, les poids statistiques \'etant partout analytiques (sauf \`a temp\'erature nulle); {\bf il ne peut y avoir de transition de phase pour un r\'eseau de taille finie}. On v\'erifie imm\'ediatement que $M$ est donn\'ee par \begin{eqnarray*} M&=&-\lim_{N\to\infty} {k_b T\over N} {\partial Z/\partial B\over Z}\\ &=& {\partial F\over\partial B}, \end{eqnarray*} o\`u l'on a introduit {\it l'\'energie libre par site} $$F=-\lim_{N\to \infty} {1\over N} k_b T \log Z.$$ Remarquons que cette limite n'a de sens que parce que l'\'energie libre totale $-k_b T\log Z$, ou encore l'aimantation totale $-k_b T {\partial \log Z\over \partial B}$, d\'efinies pour un r\'eseau de taille finie, sont des quantit\'es {\it extensives}, c'est-\`a-dire proportionnelles \`a $N$ dans la limite $N\to\infty$. D. Ruelle et d'autres auteurs ont d\'emontr\'e l'extensivit\'e de l'\'energie libre totale -- et par cons\'equent celle de l'aimantation totale -- sous des hypoth\`eses tr\`es g\'en\'erales, pour tout syst\`eme statistique; nous donnerons un argument utilisant la matrice de transfert dans la section suivante, pour le cas particulier du mod\`ele d'Ising unidimensionnel, qui se g\'en\'eralise ais\'ement \`a tout syst\`eme unidimensionnel. On voit sur cet exemple que $Z$ sert de fonction g\'en\'eratrice et que les d\'eriv\'ees partielles de $F$ par rapport \`a $T$ et $B$ donnent des moyennes d'observables (autrement dit, des variables thermodynamiques) physiquement int\'eressantes. Signalons les plus importantes (toutes d\'efinies \`a la limite thermodynamique) : \begin{enumerate} \item{\'energie interne $U$}\\ C'est par d\'efinition l'\'energie moyenne par site, not\'ee $U$ en g\'en\'eral : \begin{eqnarray*} U(T)&=& \lim_{N\to\infty} {1\over N} \lp E_B\rp_T \\ &=& {\partial (F/k_b T)\over \partial(1/k_b T)} =-T^2 {\partial\over\partial T} {F\over T}= (F-T\partial F/\partial T). \end{eqnarray*} \item{chaleur sp\'ecifique $C$})\\ Par d\'efinition, $$C=\partial U/\partial T=-T\partial^2 F/\partial T^2.$$ \item{susceptibilit\'e $\chi$} )\\ La susceptibilit\'e mesure la d\'ependance de l'aimantion par rapport au champ $B$ pour $B$ proche de $0$ : $$\chi={\partial M\over\partial B}\biggr|_{B=0}= \partial^2 F/\partial B^2.$$ \end{enumerate} Remarquons que toutes ces fonctions sont \'etudi\'ees aux alentours du point critique de coordonn\'ees $(T=T_C, B=0)$; leurs valeurs loin du point critique ne sont pas universelles et ne nous int\'eressent donc pas. Les principaux {\it exposants critiques} (qui ont un sens g\'en\'eralisable \`a une large proportion de syst\`emes statistiques, d'o\`u leur d\'esignation par des lettres grecques standardis\'ees) sont les suivants : \begin{enumerate} \item{(exposant $\al$)} Il est d\'efini par $C\sim_{T\to T_C} |T-T_C|^{-\al}$ ($B=0$). Par $\sim$ on entend le comportement asymptotique dominant lorsque $T\to T_C$, modulo un facteur multiplicatif constant qui ne d\'epend que du signe de $T-T_C$, et parfois, h\'elas, un facteur logarithmique, bien connu par les amateurs des \'equations du type de Fuchs; si bien qu'on peut d\'efinir $\al$ par $$\al=-\lim_{T\to T_C} {\ln C(T)\over\ln |T-T_C|}.$$. \item{(exposant $\beta$)} Il est d\'efini par $M_0\sim_{T\to T_C} (T_C-T)^{\beta}$ ($TT_C$ (phase paramagn\'etique). \item{(exposant $\gamma$)} Il est d\'efini par $\chi\sim_{T\to T_C} |T-T_C|^{-\gamma}$, \`a $B=0$. \item{(exposant $\del$ ou exposant sur l'isotherme critique)} C'est l'unique exposant d\'efini \`a la temp\'erature critique pr\'ecis\'ement : il donne l'allure du graphe $(B,M)$ aux alentours de $B=0$, pour $T=T_C$ fix\'ee (c'est un analogue des courbes $(P,V)$ \`a la temp\'erature critique pour un fluide \`a la transition liquide-gaz). Plus pr\'ecis\'ement, $$M\sim_{B\to 0} B^{1/\del},\quad (T=T_C).$$ \end{enumerate} \medskip On s'int\'eresse \'egalement aux comportement des {\it corr\'elateurs} suivant, correspondant \`a ce qu'on appelle la covariance en statistique math\'ematique : $$G(i,j)=\lp S_i S_j\rp - \lp S_i\rp \lp S_j\rp;$$ notons que cette quantit\'e pourrait s'obtenir comme d\'eriv\'ee seconde de $F$ par rapport \`a $B_i$ et $B_j$, en postulant un champ magn\'etique spatialement non constant $B=B(i)$. Elle joue un r\^ole absolument fondamental dans la th\'eorie de la renormalisation: sous des hypoth\`eses extr\^emement g\'en\'erales, on a, pour tout syst\`eme statistique en-dehors de la temp\'erature critique, $$G(i,j)\sim e^{-d(i,j)/\xi},\quad d(i,j)\to\infty$$ ($d(i,j)$ \'etant la distance entre les spins $i$ et $j$), la quantit\'e $\xi$, fonction de $T$ uniquement, s'appelant {\it longueur de corr\'elation}. La corr\'elation entre les spins $i$ et $j$ devient effectivement n\'egligeable pour $d(i,j)>>\xi$. Remarquons que le corr\'elateur $G$ est invariant par translation; on note souvent $G=G(\vec{r})$, $\vec{r}$ \'etant le vecteur joignant le spin $i$ au spin $j$ (en pratique, la distance entre deux spins voisins est microscopique, donc on peut consid\'erer $\vec{r}$ comme une variable continue lorsqu'on mesure des corr\'elations \`a distance macroscopique). La longueur de corr\'elation tend vers l'infini lorsque $T\to T_C$ (c'est m\^eme, pourrait-on dire, la d\'efinition d'un point critique du point de vue de la renormalisation), suivant une loi d'\'echelle d\'efinissant l'exposant $\nu$ : $$ \xi\sim_{T\to T_C} |T-T_C|^{-\nu}\quad (B=0).$$ (Notons que ces nouvelles quantit\'es s'obtiennent plus pr\'ecis\'ement \`a la limite thermodynamique, pour $B\to 0^+$, comme pour le calcul de l'aimantation). Finalement, \`a $T=T_C$ pr\'ecis\'ement, le facteur exponentiel dispara\^\i t et on trouve une nouvelle loi d'\'echelle, d\'efinissant l'exposant $\eta$ : $$G(\vec{r})\sim_{|\vec{r}|\to\infty} |\vec{r}|^{-d+2-\eta}\quad (T=T_C, B=0).$$ Une \'etude pouss\'ee de ces exposants critiques n\'ecessiterait la th\'eorie du groupe de renormalisation (cf. [Hen], chapitre 1, par exemple, pour le lien avec les lois d'\'echelle), que nous ne ferons pas. On trouve num\'eriquement (cf. [3]) les exposants suivants pour $d=2$, $d=3$ et $d>4$ (\`a noter que les valeurs des exposants critiques prennent une valeur fixe pour tout $d>4$, ce que peut seule expliquer la th\'eorie de la renormalisation) : $$\begin{array}{cccc} & d=2 & d=3 & d>4 \\ \al & 0 & 0,11... & 0\\ \beta & 1/8 & 0,33... & 1/2\\ \gamma & 7/4 & 1,24... & 1\\ \delta & 15& 4,77... & 3\\ \nu & 1 & 0,63... & 2/d \\ \eta & 1/4 & 0,032... & 2-d/2 \end{array}.$$ Les valeurs pour $d=2$ sont exactes (noter qu'elles sont toutes rationnelles), et proviennent de la r\'esolution exacte du mod\`ele d'Ising en dimension 2 et en champ nul par L.Onsager (1944, calcul de l'\'energie libre) et C.N.Yang (1952, calcul de l'aimantation \`a champ nul). Pour \^etre tout \`a fait complet, il faut signaler l'article [4] donnant une r\'esolution exacte du mod\`ele d'Ising bidimensionnel \`a la temp\'erature critique mais en champ quelconque, qui a permis de trouver la valeur exacte de $\del$ conjectur\'ee depuis longtemps par des arguments g\'en\'eraux de la th\'eorie de la renormalisation. Les valeurs pour $d>4$ sont \'egalement exactes et rationnelles, elles s'obtiennent par la th\'eorie du champ moyen (cf. section 4 ci-dessous); on peut d\'emontrer qu'elles s'\'etendent \`a $d=4$, \`a des facteurs logarithmiques pr\`es. En revanche, pour les valeurs de $d$ comprises entre $2$ et $4$ (soit $d=3$ en dimension enti\`ere, mais la th\'eorie de Landau et la r\'egularisation dimensionnelle permettent de consid\'erer des dimensions non enti\`eres), le probl\`eme du calcul des exposants critiques reste entier. Des m\'ethodes d'approximation en trois dimensions ont toutefois donn\'e des valeurs th\'eoriques correspondant aux valeurs exp\'erimentales r\'eelles (cf. [DGLR], p. 475 pour des r\'ef\'erences et une discussion). \section{R\'esolution du mod\`ele d'Ising unidimensionnel} On consid\`ere un r\'eseau fini de taille $N+1$ sur une droite, constitu\'e de sites not\'es $1,\ldots,N+1$, avec des conditions p\'eriodiques au bord. L'\'energie d'une configuation donn\'ee $S=(S_i)_{i=1, \ldots,N}$ s'\'ecrit $$E_B(S)=-J\sum_{l=1}^N S_l S_{l+1} -B\sum_{i=1}^N S_i,$$ avec, par hypoth\`ese, $S_1=S_{N+1}$. On peut indiff\'eremment imaginer que ce r\'eseau est de taille $N$, les sites \'etant dispos\'es de mani\`ere r\'eguli\`ere sur un cercle. On posera $k_b=1$ dans la suite pour simplifier, de sorte que $$Z=\sum_{S} e^{-E_B(S)/T}.$$ Soit $V$ un espace vectoriel r\'eel euclidien de dimension $2$ muni d'une base orthonorm\'ee index\'ee par les deux valeurs des spins, $+1$ et $-1$. On d\'efinit un op\'erateur $\cal T$ dit {\it op\'erateur de transfert} par ses coefficients matriciels $${\cal T}(S_i,S_j):=({\cal T})_{S_i,S_j}=\exp {1\over T} \left[ JS_i S_j+{B\over 2}(S_i+S_j)\right]:$$ alors on v\'erifie ais\'ement que $$Z=\sum_S {\cal T}(S_1,S_2){\cal T}(S_2,S_3)\cdots {\cal T}(S_{n}, S_{n+1}),$$ d'o\`u (gr\^ace aux conditions p\'eriodiques) $$Z=\tr {\cal T}^N.$$ La {\it matrice de transfert} (matrice de l'op\'erateur de transfert dans la base naturelle) $$\left(\begin{array}{cc} e^{J+B\over T} & e^{-{J\over T}}\\ e^{-{J\over T}} & e^{J-B\over T}\end{array}\right)$$ a deux valeurs propres positives distinctes $\lambda_1>\lambda_2$, dont la plus grande s'\'ecrit $$\lambda_1=e^{J\over T}\left[ \ch {B\over T}+\sqrt{\sh^2 {B\over T}+e^{-4{J\over T}}}\,\,\right].$$ En passant \`a la limite thermodynamique, on trouve donc une valeur finie et non nulle, comme nous l'annoncions dans la 2\`eme section : $$F=-\lim_{N\to\infty} {1\over N} T\log Z= -\lim_{N\to\infty} {1\over N} T\log (\lambda_1^N + \lambda_2^N) = -T\ln\lambda_1.$$ L'expression de l'\'energie libre par site est, comme on le voit imm\'ediatement, analytique pour $T>0$, donc il n'y a pas de transition de phase; en particulier, $M_0=0$ pour tout $T$. C'est un r\'esultat tr\`es g\'en\'eral pour les syst\`emes statistiques en dimension $1$ car ${\cal T}$ agit sur un espace vectoriel de dimension finie. On peut \'egalement d\'efinir des matrices de transfert en dimension 2 (cf. r\'esolution du mod\`ele d'Ising bidimensionnel dans le livre de Baxter), mais elles agissent sur un espace de dimension infinie \`a la limite thermodynamique, ce qui conduit \`a des probl\`emes spectraux nettement plus compliqu\'es (et parfois \`a une transition de phase). \section{M\'ethode du champ moyen} Cette m\'ethode d'approximation, introduite par P. Weiss en 1907, conduit pour la classe d'universalit\'e du mod\`ele d'Ising \`a un calcul correct des exposants critiques pour $d>4$, comme nous le disions dans la section 1; encore une fois, c'est la th\'eorie de la renormalisation (via la th\'eorie de Landau) qui permet de le d\'emontrer. Nous prendrons cette m\'ethode pour argent comptant, sans chercher \`a la justifier; elle permet de pr\'edire pour toute dimension (m\^eme pour $d=1$, ce qui montre, d'apr\`es la section pr\'ec\'edente, qu'elle ne s'applique pas aux petites dimensions!) une transition de phase ferromagn\'etique/paramagn\'etique comme dans les transitions r\'eelles. L'id\'ee, tr\`es grossi\`ere a priori, est de calculer l'\'energie d'un spin en supposant que tous ses voisins ont un spin \'egal \`a l'aimantation moyenne : $$E_i=-JS_i\sum_{\lp i,j\rp} \lp S_j \rp-BS_i$$ o\`u l'on somme sur tous les plus proches voisins $j$ du spin $i$; suivant le signe de $S_i$, on trouve donc $E_i=\mp(qJM+B)$, $q=2d$ \'etant le nombre de plus proches voisins $j$. On peut donc estimer que la valeur moyenne de $S_i$ est donn\'ee par $$\lp S_i\rp={e^{qJM+B}-e^{-qJM-B}\over e^{qJM+B}+e^{-qJM-B}}= \th {qJM+B\over T},$$ ce qui conduit \`a l'{\it \'equation d'auto-consistance} pour $M$ ou {\it \'equation de champ moyen} suivante: $$M=\th {qJM+B\over T},$$ qu'on utilise g\'en\'eralement sous la forme \begin{eqnarray} \argth M={qJM+B\over T}. \end{eqnarray} Il est clair en tra\c cant le graphe du membre de gauche et du membre de droite en fonction de $M$ que cette \'equation ne comporte pour $B$ donn\'e qu'une solution pour $qJ/T<1$, tendant lin\'eairement vers $0$ lorsque $B\to 0$. Posons $T_C=qJ$. Pour $T0$, on trouve trois solutions, une premi\`ere franchement positive, une deuxi\`eme tendant vers $0$ pour $B\to 0$, et une troisi\`eme franchement n\'egative; un calcul montre que la solution la plus stable (correspondant au minimum de l'\'energie libre) est la premi\`ere. Un d\'eveloppement limit\'e de $\argth$ \`a l'ordre 3 donne pour $B=0$ $${T_C\over T} M\simeq (M+{1\over 3}M^3),$$ d'o\`u (en \'eliminant la solution tendant vers $0$) $$1+{M^2\over 3}\simeq {T_C\over T},$$ ou encore (en \'eliminant la solution n\'egative) $$M\simeq \sqrt{-3t}\sim |t|^{\half}$$ o\`u $t:={T-T_C\over T_C}$ est la {\it temp\'erature r\'eduite}. La temp\'erature $T_C$ est donc bien une temp\'erature critique, avec une phase ferromagn\'etique pour $TT_C$; on trouve $\beta=\half$. Voyons bri\`evement pour finir comment obtenir les exposants $\al,\gamma $ et $\delta$. \begin{enumerate} \item{(exposant $\al$)}\\ En rempla\c cant chaque spin par sa valeur moyenne $M$, on trouve (le nombre de paires de plus proches voisins \'etant \'egal \`a ${qN\over 2}$) : $$U=-{q\over 2}JM^2(T)$$ d'o\`u $U=0$ $(T>T_c)$, $U\sim_{T\to T_C,\ TT_C$), $C={3\over 2}$ ($TT_C$, alors $M\to 0$ quand $B\to 0$ donc $\chi^{-1}\sim_{t\to 0} Tt$; si $T