\documentclass[12pt,a4]{article} \usepackage{amssymb} \input /users/prof/unterber/macros \def \lp {\langle} \def \rp {\rangle} \title{Quantification covariante des champs particulaires d'apr\`es S. Weinberg} \author{J\'er\'emie Unterberger} \date{Mardi 16 janvier 2001} \begin{document} \maketitle La th\'eorie quantique des champs naquit dans les ann\'ees 30 du besoin de donner une description quantique coh\'erente des processus de collision de particules \'el\'ementaires comportant la cr\'eation ou la destruction de particules. Le formalisme, appliqu\'e tout d'abord \`a des particules simples comme les particules scalaires de spin $0$ (ob\'eissant \`a l'\'equation de Klein-Gordon) ou les photons, s'inpira de la th\'eorie de l'oscillateur harmonique quantique. Les champs de particules -- champ \'electromagn\'etique ou champ associ\'e aux photons, champ \'electronique... -- furent vus comme la quantification d'une cha\^\i ne continue de "vibrations \'elastiques" \'el\'ementaires r\'egies par des oscillateurs harmoniques, chaque op\'erateur de cr\'eation ou d'annihilation \'etant vu (par l'interm\'ediaire d'une transformation de Fourier ad\'equate) comme un op\'erateur "cr\'eant" ou "d\'etruisant" effectivement une des particules du champ. C'est sous cet angle que les trait\'es introductifs pr\'esentent en g\'en\'eral la th\'eorie quantique des champs. Inspir\'es par le livre de S. Weinberg (cf. [1]), nous proposons ici une approche math\'ematiquement plus constructive, fond\'ee sur le principe d'invariance sous le groupe de Poincar\'e. A toute particule \'el\'ementaire est associ\'ee comme suit une repr\'esentation unitaire irr\'eductible de celui-ci. Suivant la reformulation quantique d'un groupe de sym\'etrie, la fonction d'onde d'une particule relativiste satisfait une \'equation d'\'etat -- \'equation de Dirac par exemple -- d\'efinie par un op\'erateur qui commute avec l'action du groupe de Poincar\'e sur le groupe de Hilbert. Par cons\'equent, l'espace des \'etats de la particule est invariant sous l'action de ce groupe. Si l'on suppose que le groupe de sym\'etrie ne peut \^etre \'elargi, alors le groupe de Poincar\'e doit agir de mani\`ere irr\'eductible. Les champs op\'eratoriels associ\'es \`a une particule sont alors construits en partant d'un postulat de covariance. Le principe de causalit\'e d\'efini ci-dessous restreint la liste des champs possibles et conduit \`a l'introduction d'antiparticules pour les particules poss\'edant une charge. Nous verrons enfin, dans le cas de l'\'electromagn\'etisme, pourquoi les th\'eories de jauge sont n\'ecessaires pour construire un champ covariant associ\'e \`a une particule non massive. \section{Qu'est-ce qu'une particule \'el\'ementaire ? ou encore : th\'eorie des repr\'esentations irr\'eductibles du groupe de Poincar\'e} Rappelons tout d'abord que le groupe de Poincar\'e $SO_0(1,3)\times \R^4$ est le produit semi-direct des translations d'espace-temps par le groupe de Lorenz $SO_0(1,3)$; ce dernier est lui-m\^eme engendr\'e par les rotations d'espace et les boosts relativistes $$x\mapsto \gamma(x-vt),\quad t\mapsto \gamma(t-{v\over c^2}x)$$ ($c$=vitesse de la lumi\`ere, $\gamma={1\over \sqrt{1-v^2/c^2}}$), qui deviennent les translations d'espace \`a vitesse constante lorsque $c$ tend vers l'infini. Si $p=(p^{\mu})\in\R^4$, on notera $p^2=(p^0)^2-(p^1)^2-(p^2)^2-(p^3)^2$ sa pseudo-norme minkowskienne; elle est invariante sous l'action du groupe de Lorentz. Dans toute la suite, nous poserons $c=\hbar=1$.Nous noterons indiff\'eremment $x_0$ ou $t$. Le vecteur constitu\'e par les trois composantes spatiales de $x$ sera not\'e $\vec x$. Soit $\cal H$ l'espace de Hilbert des \'etats d'une particule \'el\'ementaire, muni d'une repr\'esentation irr\'eductible $U=U(g,a), g\in SO_0(1,3), a\in\R^4$ du groupe de Poincar\'e (cf. introduction), ou plus pr\'ecis\'ement de son rev\^etement universel. Conform\'ement \`a l'interpr\'etation quantique des groupes de sym\'etrie, nous appellerons {\it quadrivecteur} (op\'eratoriel) d'\'energie-impulsion le quadruplet $P=(P^{\mu})$ d'op\'erateurs infinit\'esimaux de la repr\'esentation $(i{\partial\over\partial t}, i{\partial\over\partial x})$. C'est la transformation de $P$ sous l'action du groupe de Poincar\'e: $$U(g,a)PU(g,a)^{-1}=g.P$$ ($g$ agissant sur les composantes du vecteur $P$ suivant l'action naturelle de $SO_0(1,3)$ sur les $4$-vecteurs) qui donne lieu au nom de quadrivecteur. Suivons la construction par Wigner des repr\'esentations unitaires irr\'eductibles physiquement int\'eressantes du groupe de Poincar\'e, sans entrer dans les d\'etails math\'ematiques (cf. expos\'es de M. Laoues pour plus de pr\'ecision). Soit $\psi_{k_0}$ un vecteur propre de $P$ d'\'energie-impulsion $k_0=(k_0^{\mu})_{\mu}$; autrement dit, $P^{\mu}\psi_{k_0}=k_0^{\mu}\psi_{k_0}$ pour $k=0,\ldots,3$. Si $g\in SO_0(1,3)$, alors $U(g)^{-1}\psi_{k_0}$ est vecteur propre de $P$ d'\'energie-impulsion $g.k_0$ (cela d\'ecoule en effet directement du fait que $P$ est un quadrivecteur). Comme $U$ est irr\'eductible, les vecteurs d'\'energie-impulsion possibles forment l'orbite de $k_0$ sous l'action du groupe de Lorentz. Le nombre $m^2:=k_0^2$ est donc un invariant de la repr\'esentation; on appelle $m$ la ${\it masse}$ de la particule. La relation d'Einstein $E^2-p^2 c^2=m^2 c^4$, une fois quantifi\'ee, montre que $k_0^2$ s'interpr\`ete en effet naturellement comme le carr\'e de la masse de la particule et doit \^etre positif ou nul. On choisit \'evidemment $m\ge 0$. En particulier, la fonction d'onde $\psi$ d'une particule \'el\'ementaire de masse $m$ satisfait \`a l'\'equation dite de {\it Klein-Gordon } : $$(\square-m^2)\psi:=({\partial^2\over\partial t^2}-{\partial^2\over\partial x_1^2}-{\partial^2\over\partial x_2^2}-{\partial^2\over\partial x_3^2}-m^2) \psi=0.$$ Soit $H$ (commun\'ement appel\'e {\it petit groupe}) le sous-groupe de $SO_0(1,3)$ fixant $k_0$, $\pi$ la restriction de la repr\'esentation $U$ \`a $H$, et $V$ l'espace des vecteurs d'impulsion $k^0$ (il ne d\'epend pas, \`a isomorphisme pr\`es, du choix de $k^0$ dans l'orbite). Suivant la valeur de $m^2$ (suppos\'e positif ou nul pour les raisons physiques mentionn\'ees ci-dessus), on distingue deux cas : -- masse strictement positive : on peut choisir $k_0=(m,0,0,0)$. Alors $H\simeq SO(3)$. Les repr\'esentations de $SU(2)$, rev\^etement universel de $SO(3)$, sont caract\'eris\'ees par leur spin $s=0,{1\over 2},1,\ldots$. Le spin de la particule est d\'efini par dim $V=2s+1$. En particulier, si $s=0$, alors $V$ est trivial et la particule est dite {\it scalaire}. -- masse nulle : on peut choisir $k_0=(1,1,0,0)$. Alors $H$ est isomorphe au groupe des d\'eplacements du plan, \`a savoir, au produit semi-direct des rotations du plan par les translations du plan. Les repr\'esentations "physiquement int\'eressantes" de ce groupe sont classifi\'ees par un demi-entier (correspondant \`a un rev\^etement d'ordre deux du groupe des rotations), appel\'e {\it h\'elicit\'e}, leur restriction aux translations \'etant triviale. La construction des champs associ\'es aux particules non massives pose des probl\`emes particuliers dus \`a ces degr\'es de libert\'e suppl\'ementaires ``exclus'', qui sont li\'es \`a la d\'efinition d'une jauge (cf. infra). Indexons les \'etats d'impulsion $k_0$ -- les \'etats dans $V$ - par un indice $\sigma$ : ils seront not\'es $\psi_{k_0,\sigma}$. A tout $p$ dans l'orbite de $k_0$, on associe de fa\c con continue un \'el\'ement $L(p)$ de $SO_0(1,3)$ tel que $L(p). k_0=p$ -- autrement dit, on d\'efinit une section de la projection $SO_0(3,1)\to SO_0(3,1)/H$ (cf. deuxi\`eme expos\'e de M. Laoues). On d\'efinit $$\psi_{p,\sigma}=N(p)U(g)\psi_{k_0,\sigma},$$ o\`u $N(p)$ est un facteur de normalisation a priori arbitraire. On peut alors d\'emontrer que $$U(g)\psi_{p,\sigma}={N(p)\over N(gp)} \pi(W(g,p)) \psi_{g.p,\sigma},$$ où $W(g,p):=\pi(L(gp)^{-1}gL(p))$ est appel\'ee {\it rotation de Wigner}. De cette mani\`ere, la repr\'esentation $U$ est totalement d\'etermin\'ee. Il reste encore \`a fixer le produit scalaire et le facteur de normalisation $N(p)$. Si l'on souhaite avoir $(\psi_{p',\sigma'},\psi_{p,\sigma})=\delta({\bf p'},{\bf p}) (v_{\sigma}, v_{\sigma'})$, o\`u $\delta$ est la "fonction delta" sur l'orbite munie de la mesure invariante ${dp^1 dp^2 dp^3\over p^0}$, alors il faut poser $N(p)=\sqrt{k_0^0/p^0}.$ Nous verrons dans la section suivante comment s'interpr\`ete physiquement ce produit scalaire. Remarquons en attendant que les vecteurs d'impulsion donn\'ee $\psi_{p,\sigma}$ sont des vecteurs-distributions de la repr\'esentation $U$ correspondant \`a des fonctions $\delta$ en $p$, les \'el\'ements de l'espace de Hilbert \'etant les fonctions de $p$ de carr\'e int\'egrable pour la mesure invariante sur l'orbite. \section{Vers la th\'eorie quantique des champs : construction de l'espace de Fock et bases de la th\'eorie du scattering} Rappelons que la th\'eorie quantique des champs est n\'ee du besoin de d\'ecrire des processus de collision cr\'eant et d\'etruisant des particules. La construction de l'espace des champs est donc intimement li\'ee \`a la th\'eorie du {\it scattering} (ou diffusion) dont il sera question ci-dessous. Contentons nous d'en donner une esquisse tr\`es rudimentaire pour la diffusion d'une particule en m\'ecanique quantique \'el\'ementaire afin de motiver la d\'efinition de l'espace de Fock. Cette particule est "libre" aux temps $t=-T$ et $t=T$, o\`u $T$ est sup\'erieur au temps d'interaction (disons par exemple qu'elle ob\'eit \`a l'\'equation de Schrödinger sans potentiel); notons $\psi_{in}$ (resp. $\psi_{out}$) un \'etat de la particule en $t=-T$ (resp. $t=T$). Alors la probabilit\'e de transition entre l'\'etat $\psi_{in}$ et l'\'etat $\psi_{out}$ est \'egale, d'apr\`es l'interpr\'etation standard de la m\'ecanique quantique (cf. expos\'e de D. Karevski), \`a $| \lp\psi_{out}, e^{i\int_{-T}^{T} H(t)\ dt }\psi_{in}\rp|^2.$ Une extension de cette th\'eorie du scattering \`a la th\'eorie des champs, faite de fa\c con \`a expliquer les cr\'eations et destructions de particules, doit alors comporter les \'el\'ements suivants : -- un espace d'\'etats "libres" $\cal F$ (dit espace de Fock), produit tensoriel en un certain sens des espaces d'\'etat d'une particule, muni d'un produit scalaire qui s'annule entre deux \'etats ne comportant pas le m\^eme nombre de particules de chaque esp\`ece; -- un hamiltonien libre conservant le nombre de particules de chaque esp\`ece; -- un hamiltonien d'interaction modifiant le nombre de particules de chaque esp\`ece, qui sera construit \`a partir d'op\'erateurs de cr\'eation et d'annihilation de chaque particule. Les \'etats libres sont des combinaisons lin\'eaires des $\Phi_{p_1\sigma_1 n_1 \ldots p_k\sigma_k n_k}$ $(k=0,1,\ldots)$, \'etats \`a $k$ particules comportant pour chaque $j=1,\ldots,k$ une particule de "type $ n_j$" (c'est-\`a-dire caract\'eris\'ee par sa masse $m=m_{n_j}$, \'eventuellement par son comportement vis-\`a-vis de groupes suppl\'ementaires de sym\'etrie, et par sa nature de {\it boson} ou de {\it fermion} comme nous le verrons ci-dessous), dans son \'etat d'\'energie-impulsion $p_j$ et son \'etat de "spin" $\sigma_j$. Notons que les types $n_j$ ne sont pas n\'ecessairement distincts deux \`a deux. Supposons par exemple que $n_1=n_2=n$. Les particules 1 et 2 \'etant identiques, les \'etats quantiques $\psi_{p_1\sigma_1 n\ldots p_2\sigma_2 n\ldots}$ et $\psi_{p_2\sigma_2 n\ldots p_1\sigma_1 n\ldots}$ ne se distinguent au plus que par une phase, c'est-\`a-dire un nombre complexe de module $1$. Comme le carr\'e de l'op\'erateur d'\'echange $(p_1,\sigma_1)\mapsto(p_2,\sigma_2)$ est \'egal \`a l'identit\'e, cette phase vaut n\'ecessairement $\pm 1$ -- cet argument traditionnel n'est d'ailleurs pas parfaitement convaincant puisque la phase peut d\'ependre des impulsions (cf. ``anyons'' en dimension 2 dans ???). Si elle vaut $1$, alors la particule est dite {\it bosonique}; dans le cas contraire, elle est dite {\it fermionique}. Autrement dit, si $n_1,\ldots,n_k$ d\'esignent les particules de type bosonique et $n'_1,\ldots,n'_{k'}$ celles de type fermionique, alors l'espace de Fock s'\'ecrit $\otimes_{j=n_1,\ldots,n_k} S({\cal H}_{n_j})\otimes_{j=n'_1,\ldots,n'_{k'}} A({\cal H}_{n'_j})$, o\`u ${\cal H}_{n_j}$ est l'espace d'\'etats d'une particule de type $n_j$, $S$ est l'alg\`ebre tensorielle sym\'etrique et $A$ l'alg\`ebre tensorielle antisym\'etrique. Par construction, il existe un \'etat "vide" (not\'e $\Phi_0$, ou souvent $|0\!>$ dans les trait\'es) unique \`a un scalaire pr\`es. Dans ce qui suit on \'ecrira pour simplifier $q$ pour $(p,\sigma,n)$. On construit un produit scalaire sur l'espace de Fock comme suit \-: $${\mathrm{(\'etat\ vide)}} \lp\Phi_0,\Phi_0\rp=1;$$ $${\mathrm{(\'etats\ \`a\ une\ particule)}} \lp \Phi_{q'},\Phi_{q}\rp=\delta({\bf p'}, {\bf p}) \lp v_{\sigma'}, v_{\sigma}\rp \quad (n=n'), \ 0\ {\mathrm{sinon}};$$ $${\mathrm{(\'etats\ \`a\ deux\ particules)}} \lp \Phi_{q'_1 q'_2},\Phi_{q_1 q_2}\rp= \lp \Phi_{q'_1},\Phi_{q_1}\rp \lp \Phi_{q'_2},\Phi_{q_2}\rp \pm \lp \Phi_{q'_1}, \Phi_{q_2}\rp \lp \Phi_{q'_2},\Phi_{q_1}\rp,$$ le signe d\'ependant de la nature des particules; et ainsi de suite. Comme expliqu\'e ci-dessus, le produit scalaire entre deux \'etats ne comportant pas le m\^eme nombre de particules du m\^eme type est n\'ecessairement nul. On peut maintenant d\'efinir des op\'erateurs de {\it cr\'eation} $a^*(q)$: $$a^*(q) \Phi_{q_1\ldots q_n}=\Phi_{qq_1\ldots q_n}.$$ Leurs adjoints $a(q)$ sont appel\'es naturellement op\'erateurs d'{\it annihilation} puisqu'ils v\'erifient $$a(q)\Phi_0=0,\quad a(q)\Phi_{q_1\ldots q_n}=\lp\Phi_q,\Phi_{q_1}\rp \Phi_ {q_2\ldots q_n}\pm \lp\Phi_q,\Phi_{q_2}\rp\Phi_{q_1 q_3\ldots q_n}\pm\ldots$$ suivant la nature des particules (les signes sont les m\^emes que ceux qui apparaissent lorsqu'on fait le produit int\'erieur d'un tenseur sym\'etrique ou d'une forme diff\'erentielle par un champ de vecteurs). Notons $[\ ,\ ]_-$ le commutateur usuel de deux op\'erateurs, et $[\ ,\ ]_+$ l'anticommutateur. On v\'erifie facilement que $[a(q'),a^*(q)]_{\mp}=\lp\Phi_{q'},\Phi_q\rp$, en prenant le commutateur dans le cas bosonique et l'anticommutateur dans le cas fermionique. On trouve ainsi des relations de commutation tout \`a fait analogues \`a celles des oscillateurs harmoniques bosonique et fermionique habituels (cf. expos\'e de D. Karevski). En particulier, la densit\'e de particules d'\'etat $q$ est proportionnelle au nombre d'occupation $a^*(q)a(q)$. La m\'ecanique quantique standard donne donc l'{\it hamiltonien libre} $$H_0=\sum_n \int_{\sigma} k_0 a^*(k,\sigma,n) a(k,\sigma,n)\ d^3 k.$$ On v\'erifie $$H_0\ .\ \Phi_0=0,\ [H_0,a^*(k,\sigma,n)]=k_0 a^*(k,\sigma,n):$$ le vide a une \'energie nulle et chaque particule suppl\'ementaire de type $n$ et d'\'energie-impulsion $k$ apporte une \'energie $k_0$. En particulier, l'\'equation d'\'evolution libre $$-i{\partial\over\partial t}\Phi=H_0 \Phi$$ $(\Phi\in{\cal F})$ conserve tout naturellement les \'etats particulaires $\Phi_{q_1\ldots q_n}$ \`a une phase pr\`es. Notons que ``tout op\'erateur'' $\cal O$ s'\'ecrit \`a l'aide des op\'erateurs de cr\'eation et d'annihilation; disons plus modestement que, quelles que soient les valeurs des coefficients matriciels $\lp\psi_{q'_1\ldots q'_n},{\cal O}\psi_{q_1\ldots q_n}\rp$ pour $m\le m_0$, $n\le n_0$, on peut d\'eterminer un ``polyn\^ome'' en les $a$ et $a^*$, \`a savoir un op\'erateur du type \begin{eqnarray*} \sum_{M\le m_0}\sum_{N\le n_0} & \int& dq'_1\ldots dq'_M dq_1\ldots dq_N C_{M,N}(q'_1,\ldots,q'_M, q_1,\ldots,q_N) \\ & a^* &(q'_1)\ldots a^*(q'_M)a(q_1)\ldots a(q_N) \end{eqnarray*} dont les coefficients matriciels ci-dessus co\"\i ncident avec ceux de $\cal O$. Essayons de comprendre maintenant un processus de collision. Il est d\'efini par l'\'equation d'\'evolution $$-i{\partial\over\partial t}\psi(t)=H\psi(t),\quad \psi(t)\in{\cal F}$$ o\`u $H=H_0+V$ est une perturbation de l'hamiltonien libre $H_0$. Le postulat debase de la th\'eorie du scattering est que, les processus de collision ne durant qu'un temps fini (de l'ordre de la microseconde en pratique), on peut d\'efinir une base d'\'etats ``entrants'' ou ``in'' $\psi_{in,\al}=\psi_{in,q_1\ldots q_n}$ et une base d'\'etats ``sortants'' ou ``out'' $\psi_{out,\beta}=\psi_{out,q'_1\ldots q'_m}$ de sorte que $$e^{i\int_0^t H(\theta)d\theta} \psi_{in,\al}\sim_{t\to -\infty} e^{iH_0 t} \Phi_{\al}$$ et $$e^{i\int_0^t H(\theta)d\theta} \psi_{out,\beta}\sim_{t\to +\infty} e^{iH_0 t} \Phi_{\beta}.$$ Supposons un instant que $V\biggr|_{t\le 0}=0:$ alors, d'\'evidence, $\psi_{in,\al}=\Phi_{\al}$. De mani\`ere g\'en\'erale, la transtion entre les \'etats ``in'' et ``out'' repr\'esente donc l'\'evolution d'un syst\`eme de particules initialement libres \`a travers un processus de collision, redonnant ultimement tel ou tel autre syst\`eme de particules libres avec une certaine probabilit\'e. L'objet fondamental de ces processus est donc la ``matrice S'' suivante: $$S_{\al\beta}=\lp\psi_{in,\al},\psi_{out,\beta}\rp,$$ qui donne les amplitudes de transition entre les \'etats ``in'' et les \'etats ``out''. Posons $\Omega(t)=e^{ -i\int_0^t H(\theta)d\theta}e^{itH_0}$ (dit {\it op\'erateur d'\'evolution}); notons que $\Omega(t)$ repr\'esente effectivement l'\'evolution du syst\`eme {\it en repr\'esentation d'interaction}, i.e., en prenant \`a tout instant pour base de l'espace de Focke $\cal F$ les \'etats $\Phi_{q_1\ldots q_n}$ consid\'er\'es comme invariants dans le temps. Alors on peut r\'e\'ecrire formellement les postulats pr\'ec\'edents sous la forme $$\psi_{in,\al}=\Omega(-\infty)\Phi_{\al}, \psi_{out,\beta} =\Omega(+\infty)\Phi_{\beta}.$$ On d\'efinit \'egalement l'''op\'erateur S'' (op\'erateur d'\'evolution lui aussi) par $S=\lim_{t'\to+\infty,t\to-\infty} U(t',t)$, o\`u $$U(t',t)=\Omega(t')^* \Omega(t)=e^{ i\int_t^{t'}H(\theta)\ d\theta} e^{itH_0}.$$ La matrice $S$ repr\'esente l'op\'erateur $S$ dans la base des \'etats libres: en effet, formellement, $$\lp\Phi_{\beta},S\Phi_{\al}\rp=\lim_{t\to-\infty,t'\to+\infty} \lp\Omega(t')\Phi_{\beta}, \Omega(t)\Phi_{\al}\rp=\lp\psi_{out,\beta},\psi_{in,\al}\rp.$$ On peut donner facilement une expression explicite (formelle \'evidemment) de l'op\'erateur S: \begin{lemme} \begin{eqnarray*} S&=& T\exp i\int_{-\infty}^{+\infty} \tilde{V}(t)\ dt\\ &:=& 1+\sum_n {i^n\over n!} \int dt_1\ldots dt_n T(\tilde{V}(t_1)\ldots \tilde{V}(t_n)) \end{eqnarray*} o\`u $\tilde{V}(t)=e^{-itH_0}V(t)e^{itH_0}$ est l'expression du potentiel dans la repr\'esentation d'interaction, et $T((\tilde{V}(t_1)\ldots \tilde{V}(t_n))=T(\tilde{V}(t_{\sigma(1)})\ldots \tilde{V}(t_{\sigma(n)}))$ pour la permutation $\sigma$ d\'efinie par $t_{\sigma(1)}>\ldots>t_{\sigma(n)}.$ \end{lemme} {\it D\'emonstration:} D\'eterminons tout d'abord une \'equation diff\'erentielle r\'egissant l'op\'erateur d'\'evolution: \begin{eqnarray*} -i{\partial\over\partial t} U(t,t_0)&=& -i{\partial\over\partial t}\big[ e^{-itH_0} e^{i\int_{t_0}^t H(\theta)\ d\theta} e^{itH_0}\big] \\ &=& \big[ -H_0+e^{-itH_0} H(t) e^{itH_0}\big] U(t,t_0)\\ &=& \tilde{V}(t) U(t,t_0). \end{eqnarray*} On en d\'eduit $$U(t,t_0)=i\int_{t_0}^t \tilde{V}(t_1)U(t_1,t_0)\ dt_1,$$ puis, par r\'ecurrence, $$U(t,t_0)=i^n \int_{t_0}^t \tilde{V}(t_1)\ dt_1\ .\ \int_{t_0}^{t_1} \tilde{V}(t_2)\ dt_2\ \ldots \int_{t_0}^{t_{n-1}} \tilde{V}(t_n)U(t_n,t_0)\ dt_n,$$ d'o\`u le lemme. \cqfd Les processus physiques doivent \^etre {\it invariants} sous l'action du groupe de Poincar\'e; dans le cadre de la th\'eorie du scattering, cela signifie tr\`es pr\'ecis\'ement que l'op\'erateur $S$ doit commuter avec l'action $U_0$ du groupe de Poincar\'e sur l'espace de Fock. C'est une condition tr\`es forte. Elle conduit \`a poser l'hypoth\`ese suivante (cf. expos\'e de Malte Henkel du 27/11/00): $\tilde{V}$ est l'int\'egrale d'une densit\'e de potentiel covariante $\cal H$, i.e. \begin{eqnarray} \tilde{V}(t)=\int_{\R^3} {\cal H}(x,t)\ dx\\ U_0(g,a){\cal H}(x)U_0(g,a)^{-1}={\cal H}(gx+a). \end{eqnarray} L'expression de $S$ donn\'ee dans le lemme pr\'ec\'edent nous montre que sous cette hypoth\`ese, $S$ commute effectivement avec $U_0$ \`a condition que ${\cal H}$ v\'erifie l'hypoth\`ese de {\it causalit\'e} suivante: \begin{equation} [{\cal H}(x),{\cal H}(y)]=0\quad \forall(x,y)\ \backslash\ (x-y)^2<0. \end{equation} Cette condition signifie de fa\c con imag\'ee que les processus qui ont lieu en deux points s\'epar\'es par un intervalle de genre espace sont ind\'ependants, car aucun ``message'' ne peut parvenir de l'un \`a l'autre. En effet, si $(x-y)^2>0$ -- autrement dit, si $x-y$ appartient \`a un feuillet d'hyperbolo\"\i de \`a deux feuillets --, alors $(g.x)^0-(g.y)^0=(g.(x-y))^0$ a le m\^eme signe que $x^0-y^0$, donc l'action de l'op\'erateur de time-ordering $T$ commute avec l'action par conjugaison de $U_0$ sur les produits ${\cal H}(x) {\cal H}(y)$ apparaissant dans l'expression de $S$. Si, en revance, $(x-y)^2<0$, alors l'action de $T$ sur ${\cal H}(gx){\cal H}(gy)$ peut conduire \`a une permutation diff\'erente. L'id\'ee est alors de construire $\cal H$ \`a l'aide de champs libres v\'erifiant une hypoth\`ese de covariance analogue \`a $(2)$ et permettant d'obtenir facilement la condition de causalit\'e $(3)$. C'est ce que nous allons faire dans la derni\`ere section. \section{Quantification covariante du champ libre} \subsection{Construction g\'en\'erale} Construisons des champs op\'eratoriels $\hat{\psi}^-=(\hat{\psi}_l^-)_l$ (resp. $\hat{\psi}^+=(\hat{\psi}_l^+)_l$) \`a l'aide de combinaisons lin\'eaires des op\'erateurs d'annihilation $a(p,\sigma,n)$ (resp. de cr\'eation $a^*(p,\sigma,n)$) d'une particule de type $n$: \begin{equation} \hat{\psi}_l^-(x)=\int d\sigma\ \int d^3 p\ u_l(x;p,\sigma,n) a(p,\sigma,n). \end{equation} On souhaite les interpr\'eter comme quantification des champs classiques. En particulier, ils doivent avoir les m\^emes propri\'et\'es de covariance. Prenons les trois exemples physiques les plus connus (champ $\phi$ d'une particule scalaire, potentiel \'electromagn\'etique $A$, champ \'electronique $\psi$). Ces champs v\'erifient les \'equations suivantes : \begin{eqnarray} (\square-m^2)\phi(x)=0,\quad \phi(x)\in\C;\\ (\square-m^2)A(x)=0, \quad A(x)\in\C^4;\\ (\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\psi(x)=0,\quad \psi(x)\in\C^4. \end{eqnarray} Ces \'equations doivent avoir la m\^eme forme dans les coordonn\'ees $x'$ induites par une transformation de Poincar\'e $(g,a)\in SO_0(1,3)\times\R^4$ : si l'on pose $$\phi'(x')=\phi(x), \ A'(x')=g.(A(x)),\ \psi'(x')=S(g)\psi(x),$$ alors les \'equations ci-dessus restent vraies en mettant des primes partout : $$(\square'-m^2)\phi'(x')=0, (\square'-m^2)A'(x')=0, (\gamma^{\mu}\partial_{\mu}'-m)\psi'(x')=0.$$ Rappelons comment d\'efinir la repr\'esentation $S: SO_0(1,3)\to GL(4,\R).$ Notons $J^{\mu\nu}$ $(\mu,\nu=0,\ldots,3)$ l'\'el\'ement de $\so(1,3)$ tel que $(J^{\mu\nu})_{\mu',\nu'}=\del_{\mu,\mu'}\del_{\nu,\nu'}\pm\del_{\mu,\nu'}\del_{\nu,\mu'}.$ On pose $$dS(J^{\mu\nu})=-{i\over 4} [\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}].$$ Un simple calcul montre que $$S(g^{-1})\gamma S(g)=g.\gamma.$$ Comme $\gamma^{\mu}\partial_{\mu}=(g.\gamma)^{\mu}\partial'_{\mu}$, l'\'equation (4) donne bien \begin{eqnarray*} 0&=& S(g) \left( (g.\gamma)^{\mu}\partial'_{\mu}-m\right)S(g^{-1})\psi'(x')\\ &=& (\gamma^{\mu}\partial_{\mu}'-m)\psi'(x'). \end{eqnarray*} Quantifions de la mani\`ere la plus naturelle possible ces propri\'et\'es de covariance. Notons $D$ l'action de $SO_0(1,3)\times\R^4$ sur le champ classique $\psi$ de la particule (remarquons que l'action des translations est toujours triviale). Alors on impose les relations suivantes: $$U_0(g,a)\hat{\psi}_l^{\pm}(x)U_0^{-1}(g,a)=(D(g)\hat{\psi}^{\pm})_l(gx+a).$$ L'action de $U_0$ sur les op\'erateurs d'annihilation se d\'eduit de l'\'equation (2) et de l'expression donn\'ee dans la section 1 pour la repr\'esentation de Wigner : \begin{eqnarray} U_0(g,0)a(p,\sigma,n)U_0^{-1}(g,0)=\sqrt{(g.p)^0\over p^0} \left(D(W^{-1}(g,p))a(\overrightarrow{g.p},.,n)\right)(\sigma) \\ U_0(1,b)a(p,\sigma,n)U_0^{-1}(1,b)=e^{ib.p} a(\vec p,\sigma,n); \end{eqnarray} l'action sur les op\'erateurs de cr\'eation est donn\'ee par l'adjointe des actions pr\'ec\'edentes. La compatibilit\'e de $(4)$ et $(9)$ implique $$u_l(x;\vec p,\sigma,n)=e^{ip.x} u_l(\vec p,\sigma,n)$$ et de m\^eme $$v_l(x;\vec p,\sigma,n)=e^{-ip.x} v_l(\vec p,\sigma,n).$$ Chacune des composantes $\hat{\psi}_l^{\pm}$ v\'erifie donc l'\'equation de Klein-Gordon de masse $m$. Qu'en est-il de la compatibilit\'e des \'equations $(4)$ et $(8)$ ? Notons $\cal J$ le vecteur $(J^{23},J^{31},J^{12})$, $\cal K$ le vecteur $(J^{01},J^{02},J^{03})$, et ${\cal A}=\half ({\cal J} +i{\cal K})$, ${\cal B}=\half ({\cal J}-i{\cal K}).$ Alors les composantes de $\cal A$ et de $\cal B$ forment deux alg\`ebres isomorphes \`a $\su(2)$ et qui commutent; elles r\'ealisent explicitement l'isomorphisme $\so(4)\simeq \su(2)\times\su(2).$ Une repr\'esentation de dimension finie de $SO_0(3,1)$ est donc d\'etermin\'ee par deux demi-entiers $(a,b)$ caract\'erisant sa restriction \`a chacune de ces deux alg\`ebres. Notons que ${\cal J}={\cal A}+i{\cal B}.$ Un th\'eor\`eme bien connu sur les produits tensoriels des repr\'esentations de $\su(2)$ montre que les composantes d'un champ d'indices $(a,b)$ tournent -- i.e. se transforment sous l'action du sous-groupe des rotations, donn\'e par les composantes de $\cal J$ -- comme des objets de spin $j$, o\`u $j=a+b,a+b-1,\ldots,|a-b|.$ La compatibilit\'e des \'equations $(4)$ et $(8)$ implique donc que $a+b-j$ soit entier. Inversement, si $a+b-j$ est entier, alors il existe (\`a une constante pr\`es) un seul champ $(\hat{\psi}^-,\hat{\psi}^+)$ associ\'e \`a la repr\'esentation $(a,b)$ et \`a une particule (fermionique ou bosonique) de spin $s$ et de masse $m\not=0.$ La condition de causalit\'e conduit au fameux {\it spin-statistics theorem} : une particule est bosonique ou fermionique selon que son spin $s$ est demi-entier ou entier (cf. [Wei], chap. 5, p. 238). Nous ne le d\'emontrerons pas mais nous le v\'erifierons sur des exemples particuliers. Enfin, le cas $m=0$ est sp\'ecial : nous verrons ci-dessous l'exemple du champ \'electromagn\'etique. \subsection{Cas du champ scalaire massif non charg\'e} Le champ est dit {\it scalaire} si $D$ est la repr\'esentation triviale d'indices $(0,0)$. D'apr\`es la remarque pr\'ec\'edente, ce champ est n\'ecessairement associ\'e \`a une particule de spin nul. Soit $k=(m,0,0,0)$ le vecteur \'energie-impulsion standard, et $L(q)$ le boost standard d\'efinie par $L(q).k=q$, $q^2=m^2$ (cf. section 1). Alors $W(L(q),k)=1$ donc (avec une normalisation convenable) $$u(q)=\sqrt{m\over q^0} u(0)={1\over \sqrt{2q^0}};$$ de m\^eme pour $v(q).$ Ainsi, $$\hat{\psi}^-=\int {d^3 p\over\sqrt{2p^0}} a(\vec p) e^{ip.x}$$ et $$\hat{\psi}^+=(\hat{\psi}^-)^*=\int {d^3 p\over\sqrt{2p^0}} a(\vec p) e^{-ip.x}$$ Nous devons encore v\'erifier la condition de causalit\'e. Supposons $(x-y)^2<0.$ Alors \begin{eqnarray*} [\hat{\psi}^-(x),\hat{\psi}^+(y)]_{\pm}&=& \int {d^3 p \ d^3 p'\over 2\sqrt{p^0 p'^0}}\ e^{ip.x} e^{-ip'.y} \del^3(\vec p-\vec p')\\ &=& \Del_+(x-y) \end{eqnarray*} o\`u \begin{equation} \Del_+(z)=\int {d^3 \vec p\over 2p^0} e^{ip.z}. \end{equation} Cette distribution est Lorentz-invariante puisque ${d^3 p\over 2p^0}$ est la mesure invariante canonique sur l'hyperbolo\"\i de de masse. En particulier, si $z^2<0$, on a $$\Del_+(z)=\Del_+(0,\sqrt{-z^2},0,0)={4\pi\over\sqrt{-z^2}} \int_0^{\infty} {p\ dp\over 2\sqrt{p^2+m^2}} \sin(p\sqrt{-z^2});$$ on peut donner un sens \`a l'int\'egrale, ce qui permet de d\'efinir une fonction paire $C^{\infty}$ sur l'ouvert $z^2<0$ (dite fonction de Hankel). Elle n'est pas nulle. En revanche, $\hat{\psi}=\hat{\psi}^- +\hat{\psi}^+$ v\'erifie pour $(x-y)^2<0$ $$[\hat{\psi}(x),\hat{\psi}(y)]_{\mp} =\Del(x-y):= \Del_+(x-y)\mp\Del_+(y-x).$$ On trouve donc un champ causal \`a condition que la particule soit bosonique (on retrouve dans ce cas particuler le th\'eor\`eme spin-statistics). Notons au passage que les fonctions $\Del$ et $\Del^+$ sont assez similaires au {\it propagateur de Feynman} $\Del_F$, d\'efinie par $$\Del_F(x-y)=\int d^4 k\ {e^{-ik.x}\over k^2-m^2+i0}.$$ D'apr\`es le th\'eor\`eme des r\'esidus, $$\Del_F(x-y)=i\int {{d^3 \vec k}\over 2\sqrt{ {\vec k}^2+m^2}} e^{-ik.(x-y)}$$ si $x^0-y^0>0,$ et $$\Del_F(x-y)=i\int {{d^3 \vec k}\over 2\sqrt{ {\vec k}^2+m^2}} e^{ik.(x-y)}$$ si $x^0-y^0<0$. Les conditions portant sur le signe de $x^0-y^0$ proviennent de l'op\'erateur $T$ de time-ordering. Ce propagateur servira dans les calculs d'int\'egrales de chemin. \subsection{Cas du champ scalaire massif charg\'e} Une {\it charge} est li\'ee \`a une sym\'etrie interne continue d'une particule, i.e., un groupe de Lie \`a un param\`etre agissant sur l'espace de Fock ${\cal F}$, engendr\'e par un op\'erateur hermitien $Q$ commutant avec l'hamiltonien $H$. La charge est conserv\'ee au sens quantique, i.e., si $Q\psi(t_0)=q\psi(t_0)$ \`a un instant $t_0$, alors $Q\psi(t)=q\psi(t)$ pour tout $t$. En particulier, la charge totale est conserv\'ee lors d'un processus de collision. Comme $\hat{\psi}^-$ (resp. $\hat{\psi}^+$) est combinaison lin\'eaire des op\'erateurs d'annihilation (resp. de cr\'eation), on doit avoir $$[Q,\hat{\psi}^-(x)]=-q\hat{\psi}^-(x),\quad [Q,\hat{\psi}^+(x)]=+q\hat{\psi}^+(x)$$ pour une particule de charge $q$. Le fait que $H_0$ doive commuter avec $Q$, coupl\'e \`a la condition de causalit\'e, conduit \`a postuler l'existence d'une antiparticule $\psi_c$ (conjugu\'ee) de m\^eme masse et de charge oppos\'ee. D\'efinissant de la m\^eme fa\c con des champs $\hat{\psi} _c^-$ et $\hat{\psi}_c^+$ qui commutent avec les champs pr\'ec\'edents, et postulant les relations de commutation $$[Q,\hat{\psi}_c^-(x)]=+q\hat{\psi}_c^-(x), \quad [Q,\hat{\psi}_c^+(x)]=-q\hat{\psi}_c^+(x),$$ on trouve $$[\hat{\phi}^-(x),\hat{\phi}^+(y)]=\Del_+(x-y)-\Del_+(y-x)$$ pour \begin{equation} \hat{\phi}^-(x):=\hat{\psi}^-(x)+\hat{\psi}_c^+(x),\quad \hat{\phi}^+(x):=\hat{\psi}^+(x)+\hat{\psi}_c^-(x)=(\hat{\phi}^-(x))^*. \end{equation} Notons que $[Q,\hat{\phi}^-(x)]=-q \hat{\phi}^-(x)$ et $[Q,\hat{\phi}^+(x)]=+q \hat{\phi}^+(x)$, si bien que l'hamiltonien d'interaction peut \^etre form\'e \`a partir de produits $\hat{\phi}^-(x)\hat{\phi}^+(y)$ qui commutent avec $Q$. \subsection{Cas du champ vectoriel massif non charg\'e} On choisit maintenant pour $D$ la repr\'esentation matricielle naturelle de $SO_0(3,1)$; elle correspond \`a la repr\'esentation d'indices $(\half,\half)$. La particule est donc de spin $0$ ou $1$. Le choix de spin $0$ conduit simplement au champ d\'eriv\'e $\partial_{\mu} \hat{\psi}$ du champ scalaire. On supposera donc que $s=1$; il s'agit d'un ``photon massif''. On notera encore $\hat{\psi}^-$ et $\hat{\psi}^+$ les champs obtenus. Donnons les r\'esultats. On trouve (avec une normalisation adapt\'ee) $$u(0,0)=v(0,0)={1\over\sqrt{2m}} \left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right),$$ $$u(0,1)=-v(0,-1)={-1\over\sqrt{2m}} \left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ i\\ 0 \end{array} \right)$$ $$u(0,-1)=-v(0,1)={1\over\sqrt{2m}} \left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ -i\\ 0 \end{array} \right)$$ $$u^{\mu}(p,\sigma)={1\over\sqrt{2p^0}} e^{\mu}(p,\sigma)$$ avec $e(p,\sigma)=L(p). e(0,\sigma).$ Le champ $\hat{A}=\hat{\psi}^- +\hat{\psi}^+$ est causal pour une particule bosonique: on v\'erifie que $$[\hat{\psi}^{-,\mu}(x),\hat{\psi}^{+,\nu}]=\left[\eta^{\mu\nu}-{\partial^{\mu} \partial^{\nu}\over m^2} \right] \Del_+(x-y)$$ (o\`u $\Del_+$ est la fonction d\'efinie au paragraphe 3.2), expression qui reste paire pour $(x-y)^2<0.$ Notons enfin que $e^{\mu}(p,\sigma)p_{\mu}=0$, d'o\`u $\partial_{\mu}A^{\mu}=0.$ Dans la limite o\`u $m\to 0$, on retrouve les \'equations de Maxwell dans la jauge de Lorentz. Le vecteur $e$ s'interpr\`ete comme vecteur d'onde. \subsection{Cas du champ \'electronique} On consid\`ere cette fois-ci la repr\'esentation $S$ d\'efinie ci-dessus. Notons qu'elle n'est pas irr\'eductible (elle s'\'etend en une repr\'esentation irr\'eductible de $SO(3,1)$, l'op\'erateur de parit\'e entrela\c cant les deux sous-repr\'esentations). Dans la repr\'esentation chirale o\`u les $\gamma_{\mu}$ sont antidiagonaux par blocs, $S$ pr\'eserve les sous-espaces propres de $\gamma_5=\left(\begin{array}{cc} 1 &\\ &-1 \end{array}\right).$ Par cons\'equent, $S=(\half,0)\oplus (0,\half)$ et le couple de particules de spin $\half$ correspondant peut s'interpr\'eter comme un couple \'electron-positron. Notons $$\psi_l^-(x)=\int d{\sigma} \int d^3 p\ u_l(p,\sigma)e^{ip.x} a(p,\sigma), (\psi_c^+)_l(x)=\int d{\sigma} \int d^3 p\ v_l(p,\sigma)e^{-ip.x} a^*_c(p,\sigma).$$ On obtient apr\`es calculs $$u(0,\half)={1\over \sqrt 2} \left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\\ 1 \end{array} \right), u(0,-\half)={1\over \sqrt 2} \left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 1\\ 0 \end{array} \right)$$ $$v(0,\half)={1\over \sqrt 2} \left( \begin{array}{c} -1\\ 0\\ 1\\ 0 \end{array} \right), v(0,-\half)={1\over \sqrt 2} \left( \begin{array}{c} 0\\- 1\\ 0\\ 1 \end{array} \right)$$ $$ u(p,\sigma)=\sqrt{m\over p^0} S(L(p)) u(0,\sigma), v(p,\sigma)=\sqrt{m\over p^0} S(L(p)) v(0,\sigma).$$ Posons $\hat{\psi}=\hat{\psi}^- +\hat{\psi}_c^+.$ Alors on trouve apr\`es calcul $$[\hat{\psi}_l(x),\hat{\psi}_m^*(y)]_{+} =i\left[ (-\gamma^{\mu}\partial _{\mu}+m)\gamma^0\right]_{lm} \Del(x-y)$$ (o\`u la fonction $\Del$ est celle d\'efinie dans la section 3.2) donc le champ $\psi$ est causal si l'on consid\`ere une particule fermionique. Il aurait \'et\'e impossible de garder la causalit\'e en supposant la particule bosonique (cf. [Wei], section 5.5). On v\'erifie $$(ip^{\mu}\gamma_{\mu}+m)u(p,\sigma)=0, (-ip^{\mu}\gamma_{\mu}+m)v(p,\sigma) =0;$$ remarquons l'analogie parfaite avec la fonction d'onde de l'\'electron dans l'\'equation de Dirac: les solutions d'\'energie positive (resp. n\'egative) sont de la forme $u(p,\pm \half) e^{-ip.x}$ (resp. $v(p,\pm\half)e^{ip.x}$). En particulier, le champ $\hat{\psi}$ v\'erifie l'\'equation de Dirac. \subsection{Cas du potentiel \'electromagn\'etique} Le potentiel \'electromagn\'etrique $\hat{A}$ est un champ vectoriel neutre non massif. Remarquons qu'on ne peut l'obtenir \`a partir du champ du paragraphe 3.4 en passant \`a la limite $m\to 0$ (certaines formules deviennent singuli\`eres, dont celle du commutateur). De plus, la covariance ne s'exprime plus de la m\^eme mani\`ere. Rappelons la forme du petit groupe: il est engendr\'e par les rotations $$R(\theta)=\left(\begin{array}{ccc} \cos\theta& \sin\theta& 0\\ -\sin\theta &\cos\theta& 0\\ 0&0& {\mathrm{Id}} \end{array}\right)$$ et les translations $$S(\al,\beta)=\left(\begin{array}{cccc} 1+\zeta& \beta& -\zeta& \al\\ \beta& 1 & -\beta& 0\\ \zeta&\beta& 1-\zeta&\al\\ \al & 0 &-\al& 1 \end{array} \right).$$ Le photon poss\`ede classiquement un degr\'e de libert\'e d\^u au choix de sa polarisation; ce degr\'e de libert\'e s'interpr\`ete quantiquement par le fait que le photon est la superposition d'une particule d'h\'elicit\'e $1$ et d'une autre d'h\'elicit\'e $-1$. On a donc deux \'etats d'h\'elicit\'e privil\'egi\'es, not\'es $\sigma=1$ et $\sigma=-1$. Posons $u_{\mu}(p,\sigma)={1\over \sqrt{2p^0}}e_{\mu}(p,\sigma).$ Notons ${\cal L}(p)$ une transformation de Lorentz standard telle que ${\cal L}(p). k=p.$ Alors \begin{eqnarray} e(p,\sigma)={\cal L}(p) e(k,\sigma) \\ e^{i\sigma\theta} e(k,\sigma)=R(\theta) e(k,\sigma)\\ e(k,\sigma)=S(\al,\beta) e(k,\sigma), \end{eqnarray} les deux derni\`eres \'equations correspondant \`a l'action du petit groupe. La condition (14) est impossible \`a v\'erifier. On ne peut donc pas construire un champ invariant. Consid\'erons n\'eanmoins les \'equations (12) et (13). Ces derni\`eres imposent (\`a une constante pr\`es) $e^{\mu}(k,\pm 1) = {1\over\sqrt 2} \left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ \pm i\\ 0\end{array}\right) $ (notons que cette formule est la m\^eme que dans le cas massif). La transformation de Lorentz ${\cal L}(p)$ peut \^etre construite comme un boost ${\cal B}(|p|)$ le long de l'axe (Oz), suivi d'une rotation $R(p)$ qui envoie l'axe (Oz) dans la direction de $\vec p$. Comme $e(k,\pm 1)$ n'a des composantes que selon $x$ et $y$, il est invariant sous le boost ${\cal B}(|p|)$; par cons\'equent, $e(p,\pm 1)=R(p)e(k,\pm 1)$. En particulier, $\vec p . \vec e(p,\pm 1)=0$ et $e^0(p,\pm 1)=0$. On retrouve donc la jauge de Coulomb $A^0(x)=0$, div $\vec A=0$, de toute \'evidence non covariante. Les \'equations (13) et (14) doivent \^etre remplac\'ees par $$S(\al,\beta)R(\theta)e(\vec k,\pm 1)=e^{\pm i\theta} \left\{ e(k,\pm 1)+{\al\pm i\beta\over \sqrt 2 |k|} k \right\}.$$ On peut d\'emontrer plus g\'en\'eralement qu'il existe un couple de fonctions $\Omega_{\pm}(p,g)$ tel que $$e^{i\theta(p,g)} e(gp,\pm 1)=g.e(p,\pm 1)+p^{\mu}\Omega_{\pm}(p,g)$$ -- o\`u $\theta(p,g)$ est l'angle de la rotation de Wigner associ\'ee \`a $(g,p)$ --, si bien que $$U(g)\hat{A} U^{-1}(g)=g.\hat{A}(g.x)+\partial_{\mu} \Omega(x,g),$$ o\`u $\Omega(x,g)$ est une certaine combinaison lin\'eaire d'op\'erateurs de cr\'eation et d'annihilation. Quoiqu'il en soit, on retrouve la condition famili\`ere de jauge; on peut construire une th\'eorie Lorentz-invariante \`a partir de couplages du type $\hat{A}_{\mu}\hat{j}^{\mu}$, o\`u $\hat{j}^{\mu}$ est un (courant) quadrivecteur tel que $\partial_{\mu} \hat{j}^{\mu}=0,$ et de la ``courbure'' ou champ \'electromagn\'etique $\hat{F}_{\mu\nu}=\partial_{\mu}\hat{A}_{\nu}-\partial_{\nu} \hat{A}_{\mu}$ qui, elle, se transforme de mani\`ere covariante (cf. expos\'e de D. Manchon du 8/1/01). \end{document}