Curriculum vitae

1992-1996: Etudes à l'Ecole Normale Supérieure de Paris
1995-1999: Thèse de doctorat en analyse harmonique non-commutative :
  "Analyse harmonique sur un espace symétrique ordonné et sur son dual compact"
    (directeur: J. Faraut, Paris VI)
1996-1998: Allocataire moniteur normalien à l'Université d'Evry
1998-2000: Post-doc au Politecnico de Turin (Italie) - travail en collaboration avec
                   Fulvio Ricci (analyse sur les groupes)
2000-:       Maître de Conférences à l'Institut Elie Cartan de Nancy
                (département de mathématiques)
2001-:      Co-direction du groupe de travail "math/phys" avec M. Henkel
                 (physique théorique, Laboratoire de Physique des Matériaux de Nancy)
décembre 2010:
                 Habilitation à diriger des recherches soutenue à Nancy :
                "Symétries dynamiques schrödingériennes et singularités locales des champs gaussiens fractionnaires"

HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES (cliquer sur le lien) :

Symétries dynamiques schrödingériennes et singularités locales des champs gaussiens fractionnaires (2010).
Habilitation à diriger des recherches de l'université Nancy I.

QUELQUES ARTICLES SIGNIFICATIFS (avec liens) :
        voir rubrique Thèmes de recherche ci-dessous

Lien vers liste d'articles

La plupart des articles sont disponibles sur arXiv (math-ph, math.PR,  hep-th ou cond-mat) ou sur Hal.

Thèmes de recherche

1. Physique mathématique et géométrie

De la découverte de l'invariance conforme en dimension 2 dans les années 80 par les physiciens théoriciens
aux travaux probabilistes de S. Smirnov, Werner-Schramm-Lawler... donnant une vérification éclatante des
prédictions des physiciens, une voie royale semble s'ouvrir à l'interaction entre géométrie conforme, groupes
et algèbres de Lie de dimension infinie (algèbres de Kac-Moody et de Virasoro), physique mathématique
(théorie conforme des champs, systèmes intégrables), physique statistique (modèles sur réseau) et probabilités
discrètes.

Mes recherches se sont orientées vers l'exploration systématique de groupes de symétries de dimension infinie
surgissant a priori dans un contexte de physique statistique hors-équilibre. L'invariance schrödingérienne ou
sous le groupe de Schrödinger-Virasoro est le pendant de l'invariance conforme dans ce contexte. On la retrouve
notamment dans l'étude des formes normales des opérateurs de Schrödinger. L'algèbre de Schrödinger-Virasoro
a une structure mathématique très riche (représentations, cohomologie, structures de Poisson,...). Une monogra-
phie présentant ces travaux, en collaboration avec C. Roger, vient d'être soumise (cf. lien ci-dessous vers liste
d'articles). Elle épouse en partie le point de vue d'Arnold et Khesin (cf. leur livre Topological methods in hydro-
dynamics),  selon lequel les équations de la physique sont des équations de la mécanique hamiltonienne en
dimension infinie associée à des groupes de difféomorphismes.

Mes investigations actuelles, retournant à l'inspiration initiale,  se portent vers la réalisation de ces symétries
dans des modèles de physique statistique hors-équilibre, en lien avec les équations de flot de courbure moyenne.
Ces flots sont caractéristiques des  "fluides" classiques ou quantiques dans certaines limites; on les retrouve dans
l'étude des vortex de l'équation de Ginzburg-Landau parabolique (travaux de Bethuel-Orlandi-Smets), comme dans
celle des domaines ordonnés apparaissant dans le modèle d'Ising-Glauber trempé en-dessous de la température
critique (travaux de A. J. Bray, Caputo-Martinelli-Simenhaus-Toninelli...). Ces comportements limite devraient
apparaître de manière naturelle si l'on prolonge les travaux précédents sur l'algèbre de Schrödinger- Virasoro
en direction des équations non linéaires, via la recherche de systèmes intégrables ou d'autres représentations.

QUELQUES ARTICLES SIGNIFICATIFS :

LIVRE en collaboration avec Claude Roger (préface de Malte Henkel) : 
               The Schrödinger-Virasoro algebra. Mathematical structure and dynamical Schrödinger symmetries.
Le livre est disponible (en attendant la publication) sur cette page (cliquer sur le lien).
Reprend l'intégralité des travaux publiés, avec une mise en perspective mathématique et physique.

A classification of periodic time-dependent generalized harmonic oscillators using
      a Hamiltonian action of the Schr\"odinger-Virasoro group. Confluentes Mathematicae 2 (2), 217-263 (2010).
      http://arxiv.org/abs/0806.1185
Une étude à la Kirillov d'un espace d'opérateurs aux dérivées partielles mêlant théorie des représentations,
étude géométrique des orbites, mécanique quantique et étude spectrale (l'un des résultats essentiels
étant la détermination explicite de l'opérateur de monodromie pour des formes normales).

avec Claude Roger,
      A Hamiltonian action of the Schr\"odinger-Virasoro algebra on a space of
      periodic time-dependent Schr\"odinger operators in (1+1)-dimensions.  Journal of
       Nonlinear Mathematical Physics 17 (3), 257--279 (2010). http://arxiv.org/abs/0810.0902
Cette étude explore un point de vue poissonnien original  (via l'introduction d'un espace
de lacets au-dessus de l'espace des symboles pseudo-différentiels formels, source de nombre
de systèmes intégrables parmi les plus connus).

avec Claude Roger,
      The Schrödinger-Virasoro Lie group and algebra: from geometry to representation
      theory,  Ann. Henri Poincaré 7 (2006), 1477--1529. http://arxiv.org/abs/math-ph/0601050

Premier article sur le sujet, mélangeant points de vue géométrique (variétés de Newton-Cartan),
algébrique (théorie des représentations, cohomologie des algèbres de Lie de dimension infinie)
 et poissonnien.

2. Chemins rugueux, théorie constructive des champs, algèbres de Hopf,
     processus stochastiques fractionnaires et géométrie sous-riemannienne

Plus récemment, je me suis intéressé aux géométries locales singulières induites par des chemins irréguliers
(de faible régularité Hölder). Intégrer une 1-forme différentielle le long d'un chemin irrégulier, ou résoudre une
équation différentielle (déterministe ou stochastique) contre un tel chemin, est un problème difficile, a priori mal posé,
dont la très riche structure mathématique et physique apparaît progressivement. De la formulation géométrique en
termes de géométrie sous-riemannienne, à la formulation axiomatique en termes de chemins rugueux ("rough paths"),
j'en suis venu à une classification générale formelle des solutions à ce problème utilisant des algèbres de Hopf d'arbres 
(notamment l'algèbre de Hopf de Connes et Kreimer), puis à des constructions explicites à l'aide de méthodes multi-échelles
provenant de la théorie des champs (renormalisation des diagrammes de Feynman).

Mes derniers travaux (encore en cours), en collaboration avec des physiciens, montrent comment réinterpréter
ce problème entièrement dans le langage  de la théorie des champs. La régularisation des intégrales peut se
faire en rajoutant une interaction singulière, ou à l'aide d'un terme de "drift" singulier induisant une sorte de
"viscosité évanescente" absolument non classique. De manière générale, il semble que ce problème soit ulti-
mement lié à une théorie  de jauge à valeurs dans les groupes de Carnot- Carathéodory, et que les termes
singuliers s'interprètent comme une  "déformation" ou "désingularisation" de la géométrie sous-riemannienne
sous-jacente. Les applications purement probabilistes de ces travaux (calcul de Malliavin ordonné en Fourier,
solutions des équations différentielles stochastiques à coefficients Lipschitz...) sont en cours d'écriture.

Le rêve serait d'étendre cette philosophie générale à des géométries locales singulières aléatoires plus
compliquées, comme par exemple à la gravité quantique en dimension 2, 3, ou 4, ou à la turbulence.

QUELQUES ARTICLES SIGNIFICATIFS :

en collaboration avec Jacques Magnen: From constructive field theory to fractional stochastic calculus.

(I) An introduction:
rough path theory and perturbative heuristics.  A paraître à: Annales Henri Poincaré.   http://arxiv.org/abs/1012.3873

(II) Constructive proof of convergence for the Lévy area of fractional Brownian motion with Hurst index $\alpha\in(1/8,1/4)$.
  http://arxiv.org/abs/1103.1750

Ces articles sont les premiers d'une série proposant une relecture physique et géométrique nouvelle
de la théorie des chemins rugueux. Ils devraient déboucher également sur des applications en géométrie
sous-riemannienne.

En collaboration avec Loic Foissy: Ordered forests, permutations and iterated integrals. http://arxiv.org/abs/1004.5208
Cet article donne les soubassements algébriques (algèbres de Hopf combinatoires) des travaux
sur l'algorithme de mise en ordre normal de Fourier.

H\"older-continuous rough paths by Fourier normal ordering.
      Communications in Mathematical Physics 298   (1), 1-36 (2010).  http://arxiv.org/abs/0903.2716
A rough path over multidimensional fractional Brownian motion with arbitrary Hurst index
      by Fourier normal ordering.
      Stochastic Processes and their Applications 120 (8), 1444-1472 (2010).   http://arxiv.org/abs/0901.4771
Premier article sur l'algorithme de mise en ordre normal de Fourier, et application au cas du
brownien fractionnaire.

Les travaux sur les chemins rugueux m'ont incité à me tourner vers d'autres applications physiques possibles
de la théorie constructive des champs. J'ai écrit un article de revue sur la théorie constructive, peu
connue en-dehors d'un petit cercle, et pourtant fondamentale lorsqu'on cherche à utiliser le langage de la
théorie des champs et de la renormalisation de manière rigoureuse, en vue d'applications mathématiques.

Etude constructive de la théorie des particules élémentaires sur des espaces lorentziens

La théorie constructive  est depuis toujours  écrite en euclidien; les propagateurs  sont alors singuliers  dans  la limite infra-rouge
ou ultra-violette (pour les particules élémentaires), ou sur une surface ou sphère de Fermi (en physique du solide); le support de
la singularité est donc   "ponctuel" ou compact. Au contraire, en lorentzien, les propagateurs sont singuliers sur les hyperboloïdes
de masse, qui sont des hypersurfaces non compactes. Il s'agirait donc de découper l'espace des phases de manière astucieuse en
suivant les hyperboloïdes. Le modèle le plus simple est le modèle de Gross-Neveu de fermions en interaction en dimension 2 sur
l'espace de Minkowski $\R^{1,1}$;  une étude du modèle $\phi^4$ infra-rouge en dimension 4 est envisageable suivant les
mêmes lignes. Des états liés sont susceptibles d'apparaître. La question de savoir si ces découpages peuvent se réaliser sur des
variétés lorentziennes plus générales est ouverte. On peut prédire que la réponse dépend de la structure géométrique à l'infini de
la variété, et du comportement des solutions  de l'équation de Klein-Gordon. Une interaction avec des spécialistes de la relativité
générale serait très profitable.

Etude constructive de la transition de phase supraconductrice

Les travaux de Magnen-Rivasseau-Feldman-Trubowitz et al. sur le modèle BCS (supraconducteurs basse température)
ont montré dans les années 90 comment comprendre  l'apparition du gap d'énergie $\Del$ caractéristique de la supraconductivité,
en partant du modèle du jellium.  Seules les premières étapes d'une renormalisation constructive de ce modèle ont été réalisées. Un
développement en $1/N$, $N$=nombre de secteurs sur la sphère de Fermi (divergeant exponentiellement dans l'infra-rouge) devrait
permettre de faire apparaître la transition de phase et de construire le modèle à toute température. Les idées sont présentes en germe
dans ces articles, mais n'ont jamais été poussées jusqu'au bout. Il s'agirait du premier modèle non intégrable avec transition de phase
étudié intégralement par des méthodes rigoureuses de théorie des champs.

Groupe de travail math/phys

  Je codirige avec M. Henkel, du Laboratoire de Physique des Matériaux de Nancy (LPM), un groupe de travail "Physique et Mathématiques" depuis juin 2000, destiné à promouvoir les échanges entre mathématiciens et physiciens sur un certain nombre de sujets touchant aux deux disciplines (théorie des champs, systèmes intégrables, algèbres de Lie de dimension infinie...), et, si possible, à susciter des travaux en collaboration.

En 2003, ce groupe de travail a travaillé en symbiose avec un groupe de travail "Arbres et combinatoire" de l'équipe de probabilités de l'Institut Elie Cartan sur les processus SLE (Stochastic Loewner Equation) et leurs applications en théorie conforme des champs, les deux groupes de travail alternant une semaine sur deux. 

Le groupe de travail marque une pause prolongée depuis quelques années (due essentiellement au manque de
temps des principaux protagonistes), mais les archives sont toujours disponibles. 
 

Groupe de travail physique et mathématiques (articles en commun) 

Groupe de travail physique et mathématiques (programme des prochains exposés)

Groupe de travail physique et mathématiques (archives)