1992-1996: Etudes à l'Ecole Normale Supérieure de Paris
1995-1999: Thèse de doctorat en analyse harmonique non-commutative :
"Analyse harmonique sur un espace symétrique ordonné et sur son dual compact"
    (directeur: J. Faraut, Paris VI)
1996-1998: Allocataire moniteur normalien à l'Université d'Evry
1998-2000: Post-doc au Politecnico de Turin (Italie) - travail en collaboration avec
                   Fulvio Ricci (analyse sur les groupes)
2000-:       Maître de Conférences à l'Institut Elie Cartan de Nancy
                (département de mathématiques)
2001-:      Co-direction du groupe de travail "math/phys" avec M. Henkel
                 (physique théorique, Laboratoire de Physique des Matériaux de Nancy)
décembre 2010:
   Habilitation à diriger des recherches soutenue à Nancy :
                "Symétries dynamiques schrödingériennes et singularités locales des champs gaussiens fractionnaires"

QUELQUES ARTICLES SIGNIFICATIFS (avec liens) :
voir rubrique Thèmes de recherche ci-dessous

La plupart des articles sont disponibles sur arXiv (math-ph, math.PR, hep-th ou cond-mat) ou sur Hal.

1. Chemins rugueux, théorie constructive des champs, algèbres de Hopf,
processus stochastiques fractionnaires et géométrie sous-riemannienne

Depuis 2007, je me suis intéressé aux géométries locales singulières induites par des chemins irréguliers
(de faible régularité Hölder). Intégrer une 1-forme différentielle le long d'un chemin irrégulier, ou résoudre une
équation différentielle (déterministe ou stochastique) contre un tel chemin, est un problème difficile, a priori mal posé,
dont la très riche structure mathématique et physique apparaît progressivement. De la formulation géométrique en
termes de géométrie sous-riemannienne, à la formulation axiomatique en termes de chemins rugueux ("rough paths"),
j'en suis venu à une classification générale formelle des solutions à ce problème utilisant des algèbres de Hopf d'arbres
(notamment l'algèbre de Hopf de Connes et Kreimer), puis à des constructions explicites à l'aide de méthodes multi-échelles
provenant de la théorie des champs (renormalisation des diagrammes de Feynman).

Mes derniers travaux (encore en cours), en collaboration avec des physiciens, montrent comment réinterpréter
ce problème entièrement dans le langage de la théorie des champs. La régularisation des intégrales peut se
faire en rajoutant une interaction singulière, ou à l'aide d'un terme de "drift" singulier induisant une sorte de
"viscosité évanescente" absolument non classique. De manière générale, il semble que les termes
singuliers s'interprètent comme une "déformation" ou "désingularisation" de la géométrie sous-riemannienne
sous-jacente. Les applications purement probabilistes de ces travaux (calcul de Malliavin ordonné en Fourier,
solutions des équations différentielles stochastiques à coefficients Lipschitz...) sont en cours d'écriture.

en collaboration avec Jacques Magnen: From constructive field theory to fractional stochastic calculus.

(I) An introduction:
rough path theory and perturbative heuristics. Annales Henri Poincaré 12, 1199-1226 (2011). http://arxiv.org/abs/1012.3873

(II) Constructive proof of convergence for the Lévy area of fractional Brownian motion with Hurst index $\alpha\in(1/8,1/4)$.
A paraître à: Annales Henri Poincaré. http://arxiv.org/abs/1103.1750

Ces articles sont les premiers d'une série proposant une relecture physique et géométrique nouvelle
de la théorie des chemins rugueux. Ils devraient déboucher également sur des applications en géométrie
sous-riemannienne.

En collaboration avec Loic Foissy: Ordered forests, permutations and iterated integrals. http://arxiv.org/abs/1004.5208
Cet article donne les soubassements algébriques (algèbres de Hopf combinatoires) des travaux
sur l'algorithme de mise en ordre normal de Fourier.

H\"older-continuous rough paths by Fourier normal ordering.
Communications in Mathematical Physics 298 (1), 1-36 (2010). http://arxiv.org/abs/0903.2716
A rough path over multidimensional fractional Brownian motion with arbitrary Hurst index
by Fourier normal ordering.
Stochastic Processes and their Applications 120 (8), 1444-1472 (2010). http://arxiv.org/abs/0901.4771
Premier article sur l'algorithme de mise en ordre normal de Fourier, et application au cas du
brownien fractionnaire.

De la découverte de l'invariance conforme en dimension 2 dans les années 80 par les physiciens théoriciens
aux travaux probabilistes de S. Smirnov, Werner-Schramm-Lawler... donnant une vérification éclatante des
prédictions des physiciens, une voie royale semble s'ouvrir à l'interaction entre géométrie conforme, groupes
et algèbres de Lie de dimension infinie (algèbres de Kac-Moody et de Virasoro), physique mathématique
(théorie conforme des champs, systèmes intégrables), physique statistique (modèles sur réseau) et probabilités
discrètes.

Mes recherches se sont orientées vers l'exploration systématique de groupes de symétries de dimension infinie
surgissant a priori dans un contexte de physique statistique hors-équilibre. L'invariance schrödingérienne ou
sous le groupe de Schrödinger-Virasoro est le pendant de l'invariance conforme dans ce contexte. On la retrouve
notamment dans l'étude des formes normales des opérateurs de Schrödinger. L'algèbre de Schrödinger-Virasoro
a une structure mathématique très riche (représentations, cohomologie, structures de Poisson,...). Une monogra-
phie présentant ces travaux, en collaboration avec C. Roger, vient d'être soumise (cf. lien ci-dessous vers liste
d'articles). Elle épouse en partie le point de vue d'Arnold et Khesin (cf. leur livre Topological methods in hydro-
dynamics), selon lequel les équations de la physique sont des équations de la mécanique hamiltonienne en
dimension infinie associée à des groupes de difféomorphismes, et exploité par G. Misiolek, Y. Brenier,
A. Shnirelman ... pour l'étude de l'équation d'Euler par exemple.

Un défi majeur consiste à comprendre si et comment de telles invariances dynamiques sont réalisées dans les
modèles classiques de la physique statistique (équations paraboliques du type d'Allen-Cahn par exemple); et
si de l'étude de cette algèbre sortent des systèmes intégrables d'un type nouveau, ou des équations hydro-
dynamiques à la manière d'Arnold-Khesin. Actuellement, sans abandoner ces questions, je m'intéresse à des
équations de la physique statistique d'un point de vue probabiliste et de théorie des champs (cf. infra).

A classification of periodic time-dependent generalized harmonic oscillators using
a Hamiltonian action of the Schr\"odinger-Virasoro group. Confluentes Mathematicae 2 (2), 217-263 (2010).
http://arxiv.org/abs/0806.1185
Une étude à la Kirillov d'un espace d'opérateurs aux dérivées partielles mêlant théorie des représentations,
étude géométrique des orbites, mécanique quantique et étude spectrale (l'un des résultats essentiels
étant la détermination explicite de l'opérateur de monodromie pour des formes normales).

avec Claude Roger,
      A Hamiltonian action of the Schr\"odinger-Virasoro algebra on a space of
      periodic time-dependent Schr\"odinger operators in (1+1)-dimensions. Journal of
       Nonlinear Mathematical Physics 17 (3), 257--279 (2010). http://arxiv.org/abs/0810.0902
Cette étude explore un point de vue poissonnien original (via l'introduction d'un espace
de lacets au-dessus de l'espace des symboles pseudo-différentiels formels, source de nombre
de systèmes intégrables parmi les plus connus).

avec Claude Roger,
The Schrödinger-Virasoro Lie group and algebra: from geometry to representation
theory, Ann. Henri Poincaré 7 (2006), 1477--1529. http://arxiv.org/abs/math-ph/0601050

Premier article sur le sujet, mélangeant points de vue géométrique (variétés de Newton-Cartan),
algébrique (théorie des représentations, cohomologie des algèbres de Lie de dimension infinie)
et poissonnien.

Les techniques constructives de la théorie des champs, utilisées avec succès dans le cadre de la théorie
quantique euclidienne (i.e. obtenue par prolongement analytique vers un temps imaginaire) des champs,
ainsi que dans l'étude des fermions en interaction à l'équilibre, sont sous-exploitées à l'heure actuelle
pour l'étude de nombre de problèmes fondamentaux de physique quantique ou classique, notamment
en ce qui concerne les problèmes d'évolution en temps réel, rattachés à l'étude d'équations aux
dérivées partielles paraboliques ou hyperboliques avec un bruit.

Nous présentons ci-dessous un certain nombre de problèmes fondamentaux auxquels nous confrontons
actuellement avec l'aide de ces techniques. Il s'agit pour l'instant simplement de travaux en cours, que
nous espérons voir aboutir.

Etude constructive de la théorie des particules élémentaires sur des espaces lorentziens

La théorie constructive est depuis toujours écrite en euclidien; les propagateurs sont alors
singuliers dans la limite infra-rouge ou ultra-violette (pour les particules élémentaires), ou sur une
surface ou sphère de Fermi (en physique du solide); le support de la singularité est donc "ponctuel"
ou compact. Au contraire, en lorentzien, les opérateurs sous-jacents (Klein-Gordon par exemple) sont
hyperboliques, et les propagateurs sont singuliers sur les hyperboloïdes de masse, qui sont des hyper-
surfaces non compactes. L'étude multi-échelles de ces opérateurs a été réalisée par Candès-Donoho-
Demanet à l'aide d'objets directionnels généralisant les ondelettes et appelés curvelets, qu'on peut
étendre en Minkowski curvelets. Nous étudions actuellement un "toy model" bosonique classique en
théorie des champs ($\phi^4$ avec cut-off infra-rouge) en dimension 4, représentatif des difficultés du
problème (et relevant pour l'étude du boson de Higgs).

La question de savoir si ces découpages peuvent se réaliser sur des variétés lorentziennes plus générales
est ouverte. On peut prédire que la réponse dépend de la structure géométrique à l'infini de la variété, et
du comportement des solutions de l'équation de Klein-Gordon. Une interaction avec des spécialistes de la
relativité générale serait très profitable.

Le même genre d'outils, appliqué au modèle $phi^4$ à température finie - réécrit en termes d'une théorie
lagrangienne grâce au formalisme dit de Keldysh - pourrait permettre à terme d'établir la loi de Fourier,
sujet de nombreuses investigations récentes (cf. articles de Bernardin-Olla, Eckmann, Hairer, Spohn,
Bricmont-Kupiainen...).

Les travaux de Magnen-Rivasseau-Feldman-Trubowitz et al. sur le modèle BCS (supraconducteurs basse
température) ont montré dans les années 90 comment comprendre l'apparition du gap d'énergie $\Del$
caractéristique de la supraconductivité, en partant du modèle du jellium. Seules les premières étapes d'une
renormalisation constructive de ce modèle ont été réalisées. Un développement en $1/N$, $N$=nombre de
secteurs sur la sphère de Fermi (divergeant exponentiellement dans l'infra-rouge) devrait permettre de faire
apparaître la transition de phase et de construire le modèle à toute température. Les idées sont présentes en
germe dans ces articles, mais n'ont jamais été poussées jusqu'au bout. Il s'agirait du premier modèle non
intégrable avec transition de phase étudié intégralement par des méthodes rigoureuses de théorie des champs.

Problèmes paraboliques

Le formalisme dit de réponse ou Martin-Siggia-Rose est un formalisme bien connu par les experts de
la théorie des champs (perturbative), permettant de réécrire des équations aux dérivées partielles
stochastiques dirigées par un bruit gaussien sous forme lagrangienne. Un des enjeux consiste à
rendre ce formalisme rigoureux. Lorsque le processus de Markov sous-jacent n'est pas dans sa mesure
d'équilibre à l'instant initial, une difficulté supplémentaire consiste à tenir compte de la condition
initiale. On peut espérer pouvoir utiliser le formalisme de réponse au moins lorsque la condition
initiale est suffisamment proche de la mesure d'équilibre, supposée connue. Un cas d'étude possible
est celui de l'équation de croissance de Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) -- illustrée ces dernières années par
de nombreux travaux en dimension 1 de Spohn, Quastel, Corwin, Hairer... --, mais en trois dimensions
d'espace ou plus, avec un cut-off ultra-violet (ou en d'autre termes, en utilisant une régularisation locale
du bruit blanc). L'étude perturbative du groupe de renormalisation prédit que le terme non-linéaire
est non pertinent dans la limite (avec scaling parabolique) grande distance/grand temps, et donc que
la solution se comporte asymptotiquement comme une équation de la chaleur stochastique.
Un problème très significatif est celui de l'équation d'Allen-Cahn, donnant le comportement d'un système
de spins unidimensionnels trempés brutalement à basse température à partir d'une température supérieure
à la température critique. Le bruit essentiel est alors dans les conditions initiales, qu'on peut supposer
aléatoires, avec une corrélation à faible distance. Le régime de croissance des interfaces entre les domaines
où le spin est positif et ceux où il est négatif a été étudié par de très nombreux auteurs, physiciens ou
mathématiciens (De Masi, Presutti, Giacomin, Evans-Soner-Souganidis, Caputo-Martinelli-Simenhaus-Toninelli,
Bray, Mazenko, Cugliandolo...), en lien avec le flot de courbure moyenne. La difficulté supplémentaire, de taille,
est ici dans la condition initiale désordonnée qu'on peut espérer traiter avec un mélange de techniques
probabilistes et de théorie des champs. Les mêmes questions se posent pour des spins à valeurs complexes:
on obtient alors une équation de Ginzburg-Landau dépendant du temps avec condition initiale désordonnée
(cf. travaux de Bethuel-Orlandi-Smets). La question de l'établissement du régime initial de séparation de
phases se traite par des techniques de limites hydrodynamiques (cf. travaux de Varadhan-Kipnis-Landim...).

Je codirige avec M. Henkel, du Laboratoire de Physique des Matériaux de Nancy (LPM), un groupe de travail "Physique et Mathématiques" depuis juin 2000, destiné à promouvoir les échanges entre mathématiciens et physiciens sur un certain nombre de sujets touchant aux deux disciplines (théorie des champs, systèmes intégrables, algèbres de Lie de dimension infinie...), et, si possible, à susciter des travaux en collaboration.

En 2003, ce groupe de travail a travaillé en symbiose avec un groupe de travail "Arbres et combinatoire" de l'équipe de probabilités de l'Institut Elie Cartan sur les processus SLE (Stochastic Loewner Equation) et leurs applications en théorie conforme des champs, les deux groupes de travail alternant une semaine sur deux.

Le groupe de travail marque une pause prolongée depuis quelques années (due essentiellement au manque de
temps des principaux protagonistes), mais les archives sont toujours disponibles.

Physique statistique	Processus stochastiques (chemins rugueux)	Symétries hamiltoniennes en dimension infinie
E.D.P./ E.D.P. stochastiques	Applications rigoureuses de la théorie des champs	Physique quantique
Algèbres de Hopf combinatoires	Ondelettes et généralisations	Limites hydrodynamiques