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Séminaire de Géométrie Différentielle
Le Séminaire/Groupe de travail de Géométrie Différentielle se réunit le mardi à 14h00 et/ou à 15h15 en salle de conférence.

Programme

21 Septembre, 14h00
Wojciech Kozlowski (University of Lodz, Poland)
Geometry of Vector Bundles
5 octobre, 14h00
Frédéric Robert (Université de Nancy)
Quelques méthodes de contrôle de la dynamique d'équations elliptiques issues de la géométrie, Partie I
2 novembre, 14h00
Rafael Herrera (Centro de Investigación en Matemáticas)
Complex contact manifolds and circle actions
We study the rigidity of certain holomorphic Euler characteristics under circle actions on complex contact manifolds. In particular, we obtain certain vanishing theorems analogous to those of LeBrun and Salamon under positive curvature assumptions.
9 novembre, 13h45
Roger Nakad (Université de Nancy)
Structures SpinC sur les variétés CR
14 décembre, 14h00
Olivier Guichard (Université de Paris-Sud (Orsay))
Structures géométriques et représentations Anosov
4 janvier, 14h00
Frédéric Robert (Université de Nancy)
La métrique ambiante de Fefferman-Graham
18 et 19 janvier 2011
Voir Journées Nancéiennes de Géométrie
25 janvier, 14h00
Julien Roth (Université de Marne-la-Vallée)
Une nouvelle caractérisation des sphères géodésique de l'espace euclidien
1er février, 14h00
Benoît Daniel (Université de Paris XII)
Sphères à courbure moyenne constante dans les variétés homogènes
Les surfaces à courbure moyenne constante (CMC) sont les surfaces qui minimisent localement leur aire sous une certaine contrainte de volume. Un célèbre théorème de H. Hopf affirme que les seules surfaces CMC dans l'espace euclidien de dimension 3 difféomorphes à la sphère sont les sphères rondes. Ce théorème a été généralisé récemment par U. Abresch et H. Rosenberg dans d'autres variétés ambiantes homogènes de dimension 3. Nous nous intéresserons ensuite à la question de l'existence et de l'unicité des sphères CMC dans le groupe de Lie Sol3, c'est-à-dire le seul des huit modèles de géométrie de Thurston où le problème était ouvert (nous exposerons des résultats en collaboration avec P. Mira et des résultats de W. Meeks).
jeudi 10 février, 14h00 en salle 113
Zhou Zhang (Université de Sydney)
Kahler-Ricci flows over closed manifolds
In this introductory talk, we begin with the general setting of Kahler-Ricci flow and introduce criterion for existence from the cohomology picture. Then we give some general discussion of the singularities and indicate the significant difference between finite and infinite time cases.
15 février, 14h00
Stéphane Sabourau (Université de Tours)
Sur la géométrie des jacobiennes des surfaces de Riemann
Le problème de Schottky consiste à caractériser les jacobiennes des surfaces de Riemann parmi les variétés abéliennes principalement polarisées. Ce problème classique a été abordé sous de nombreux angles. Dans ce travail en collaboration avec F. Balacheff et H. Parlier, nous généralisons l'approche géométrique développée par P. Buser et P. Sarnak en obtenant de nouvelles estimées sur les longueurs des réseaux des périodes des jacobiennes.
22 février, 14h00
Paul Laurain (École Normale Supérieure de Lyon)
Lieu de concentration des surfaces à courbure moyenne constante
La compréhension de l'espace de module des surfaces à courbure moyenne constante (CMC) dans une variété a fait l'objet de nombreuse investigations ces deux dernières décennies. Successivement, Ye, Pacard et Malchiodi, pour ne citer qu'eux, ont construit des exemples de CMC se concentrant dans un voisinage d'un point critique de la courbure scalaire. Nous regarderons la question de l'unicité de telles constructions, en étudiant les suites de solutions de l'équation de courbure moyenne constante dans une variété à l'aide de technique de "blow-up", notamment en tentant d'obtenir des estimées précises sur la décomposition en somme de "bulles" de notre suite de solutions.
8 mars, 14h00
Luc Vrancken (Université de Valencienne)
En géométrie différentielle équiaffine on étudie les sous-variétés M dans Rn+1. Le premier problème fondamental qu'on rencontre dans la géométrie différentielle affine est comment on peut, à partir de la structure équiaffine donnée sur Rn+1, introduire une structure équiaffine sur la sous-variété M. Pour les hypersurfaces, la solution de ce problème est bien connue. Dans ce cas, il est possible de déterminer un champ de vecteurs transversal canonique et une forme bilinéaire symétrique, qu'on appelle respectivement le normal affine et la métrique affine. Une hypersurface affine est appelée sphère affine si tous les normaux affines passent à travers un point fixe (les hypersphères propres) ou si tous les normaux affines sont parallèles (les hypersphères impropres). Dans la géométrie différentielle affine, la classe de sphères affine est sans aucun doute la classe la plus étudiée des hypersurfaces. La classe des hypersphères affines sont liés à la solution d'une équation aux dérivées partielles de Monge Ampère, et donc des solutions locales sont abondantes. En supposant que la métrique Berwald Blaschke est définie positive et complète, des classifications ont été obtenus par Calabi, Cheng, Li, Sasaki, Yau et bien d'autres. En particulier dans le cas hyperbolique de nombreux exemples complets existent (qui sont asymptotique à certains cônes). Ici, nous allons parler d'un classement local, en supposant la condition supplémentaire que la forme cubique est parallèle par rapport à la connexion de Levi Civita de la métrique. Ces hypersurfaces sont nécessairement des espaces localement symétriques, mais ils ne sont pas nécessairement réductibles. Il s'avère que tous ces hypersurfaces affines sont des quadriques ou peut être obtenue en appliquant plusieurs fois une construction introduit par Calabi, qui permets d'asssocier avec une (ou deux) sphères affine hyperbolique une nouvelle sphère affine hyperbolique, en utilisant comme outils de construction, soit l'hyperboloide, ou l'immersion standard de l'un des espaces symétriques SL (m, R) / SO (m), SL (m, C) / SU (m), SU*(2m) / Sp (m), ou E6/F4. De même, comme il n'y a pas des espaces non triviale irréductible lorentzienne symétriques, nous allons aussi indiquer que le même résultat est vrai aussi si la métrique Berwald-Blaschke est lorentzienne. Pour les métriques avec signature arbitraire, la situation est plus compliquée car également les espaces symétriques, comme par exemple SL (n, R) sont possibles. Les mêmes techniques peuvent également être utilisés afin d'obtenir une preuve élémentaire de la classification de Naitoh des sous variété parallèles lagrangiennes.
15 mars, 14h00
Kolehe Coulibaly Pasquier (Université de Nancy)
Estimée de la première valeur propre du Laplacien avec des méthodes probabiliste
Dans cet exposé on démontrera des estimée de la première valeur propre du Laplacien sur des variétés compactes à courbure de Ricci positive ou nulle avec des arguments probabilistes de couplage type Kendall.
22 mars, 14h00
Vincent Bour (Université de Grenoble)
Flots de courbure d'ordre quatre et applications géométriques
Dans cet exposé, on présente une preuve d'un résultat de rigidité des variétés compactes de dimension quatre, qui repose entièrement sur l'étude d'un flot géométrique. On étudie pour cela le flot de gradient de certaines fonctionnelles quadratiques en la courbure, et on montre que lorsque la métrique initiale possède une constante de Yamabe positive et que son énergie est inférieure à une borne explicite, alors le flot ne développe pas de singularité. Sous ces hypothèses, la solution existe pour tous les temps positifs, et il existe une suite de temps pour lesquels la métrique converge vers un quotient de la sphère. Cela donne, sous des hypothèses un peu plus fortes, une preuve plus directe d'un théorème de Chang, Gursky et Yang affirmant que les seules variétés compactes de dimension quatre dont la courbure vérifie un pincement intégral et ayant une constante de Yamabe positive sont des quotients de la sphère.
      15h30
Roberta Ghezzi (École Polytechnique)
La Géométrie Presque-riemannienne du Point de Vue de la Théorie du Contrôle
Une structure presque-riemannienne sur une variété est une généralisation d'une structure riemannienne où les éléments des bases locales orthonormales satisfont la condition de Hörmander et peuvent être colinéaires. On présente une étude des surfaces presque-riemanniennes avec de points de tangence, i.e., points où deux générateurs de la distribution ainsi que leur crochet sont parallèles. En particulier on analyse le cas générique autour d'un point de tangence. Du point de vue global, on démontre un résultat de classification au sens lipschitz des surfaces presque-riemanniennes avec points de tangence ainsi qu'une formule de Gauss--Bonnet.
29 mars, 14h00
Farid Madani (Université de Regensburg)
Le problème de Yamabe équivariant et la conjecture de Hebey-Vaugon
      15h30
Idrisse Khemar (École Normale Supérieure de Lyon)
Systèmes elliptiques intégrables: une interprétation géométrique complète et détaillée.
Nous présenterons une famille de systèmes intégrables: les systèmes elliptiques intégrables au sens de C.L. Terng. Par exemple le système elliptique intégrable de rang 1 correspond aux applications harmoniques d'une surface de Riemann à valeurs dans un groupe de Lie ou un espace symétrique (sigma modèle). Nous commencerons l'exposé par quelques rappels sur la théorie des applications harmoniques du point de vue des systèmes intégrables. Après avoir donné les définitions et propriétés générales des systèmes elliptiques intégrables, nous en présenterons une interprétation géométrique détaillée (courbes J-holomorphes, F-holomorphes, applications verticalement harmoniques, formulation variationnelle sous forme d'un sigma modèle avec un terme de Wess-Zumino ...). Si le temps le permet, nous donnerons quelques exemples issus de la théorie des surfaces et de la physique mathématique.
5 avril, 14h00
Charles Frances (Université Paris-Sud (Orsay))
Rigidité des bords conformes en géométrie pseudo-Riemannienne
Le but de l'exposé est de montrer comment une construction classique de bord abstrait pour les géométries de Cartan peut-être utilisée pour prouver des résultats de rigidité des bords conformes d'espaces pseudo-Riemanniens. Nous donnerons également des applications de cette construction aux variétés conformément maximales.
     15h30
Vincent Berard (Université de Montpellier)
Les applications conformes-harmoniques
L'énergie d'une application d'une surface riemannienne à valeurs dans une variété est une fonctionnelle invariante conforme, ses points critiques sont les applications harmoniques. Nous proposons ici un analogue en dimension supérieure, c'est-à-dire une fonctionnelle invariante conforme pour les applications entre deux variétés riemanniennes, dont la source est de dimension n paire. Ses points critiques satisfont une EDP elliptique d'ordre n non linéaire qui est invariante conforme sur la source, ce sont les applications C-harmoniques. Dans le cas des fonctions, il s'agit des opérateurs GJMS, avec notamment l'opérateur de Paneitz quand n=4.
12 avril, 14h00
Asma Hassannezhad (Université de Neuchâtel)
Conformal Upper bounds for the eigenvalues of the Laplacian
We introduce upper bounds for the eigenvalues of the Laplacian in the conformal class of a compact Riemannian manifold (M,g). These upper bounds depend only on the order of the eigenvalues, the dimension, and a conformal invariant "the min-conformal volume". Asymptotically, these bounds are consistent with the Weyl law and improve previous results by Korevaar and Yang and Yau. The main ingredient of the proof relies on the construction of a suitable family of disjoint domains providing supports for a family of test functions. This method is interesting for itself and powerful.
      15h30
Florin Belgun (Université de Hambourg)
Structures de produit en géométrie conforme
Une métrique produit (local) g=g1+g2 est reconnue à la réductibilité de la représentation d'holonomie. Mais il y a des structures de produit plus faibles g=g1+f g2, avec f une fonction, qui ont une holonomie irréductible (un résultat classique de Gallot (1979) dit qu'un cône riemannien -- avec la métrique dr2+r2 g0, où g0 est complète -- est soit irréductible soit plat). On montre que toutes ces structures peuvent être vues comme des produits conformes et peuvent être caractérisées par l'existence d'une unique connexion conforme sans torsion (structure de Weyl), à holonomie réductible. Dans le cas localement métrique, on montre une généralisation du théorème de Gallot, et l'Ansatz du produit conforme non-métrique est utilisé afin de produire des structures de Weyl-Einstein en dimension 4.
7 juin, 14h00
Vincent Borrelli (Université de Lyon I)
Intégration convexe, plongements isométriques et visualisation
En 1954, F. Nash énonce un théorème déconcertant : il n'y a pas d'obstruction à l'existence de plongements isométriques en petite codimension ! Complété par N. Kuiper, son résultat implique qu'il existe des plongements isométriques de tores plats dans l'espace euclidien de dimension trois mais aussi, que l'on peut plonger isométriquement la sphère ronde de rayon 1 dans une boule de rayon 1⁄2 ou encore, que l'on peut effectuer le retournement de la sphère de façon isométrique... Bien sûr, la courbure de Gauss interdit à tous ces objets d'être de classe C2, mais ils sont tout de même de classe C1 et possèdent en tout point un espace tangent. Plus tard, en revisitant les travaux de nombreux géomètres, M. Gromov invente une technique qui généralise et éclaire de façon extraordinaire la manière dont F. Nash et N. Kuiper ont construit leurs plongements isométriques : c'est la technique de l'intégration convexe. À l'aide de cette méthode, une implémentation est possible et la visualisation des plongements paradoxaux de F. Nash et N. Kuiper devient envisageable. Nous nous intéresserons au cas des tores plats.

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Jean-François Grosjean