Deroulement

Extrait du rapport de jury 2008

Épreuves orales d'algèbre et d'analyse et Mathématiques pour l'informatique

5.1 Organisation des épreuves

Les modalités, mises en place au concours 2001, ont cette année encore donné entière satisfaction et sont reconduites pour la session 2009. Elles sont décrites ci-après de manière détaillée, prenant en compte l'expérience acquise. Pour les candidats de l'option D, des changements de modalités sur les leçons de mathématiques interviennent en 2009. Ils tireront au hasard un couple de leçons prélevées dans la liste jointe dans ce rapport. Par conséquent ils pourront éventuellement se voir proposer un choix de deux leçons d'algèbre ou 2 leçons d'analyse ou une de chaque . À l'issue de la période de préparation, le jury fait procéder à la photocopie des plans préparés par les candidats. Ces derniers sont manuscrits, comportent 3 pages A4 au maximum et possèdent une marge de 1 cm sur tous les côtés afin d'éviter tout problème lors de la photocopie. Il est conseillé de ne pas utiliser de stylos de couleurs, car les couleurs ne passent pas à la photocopie. Il est en revanche conseillé de soigner la présentation du plan écrit, de mettre des titres, d'encadrer les formules, etc. pour qu'il soit le plus lisible possible. Les plans peuvent être complétés par des planches de figures. Noter clairement sur le plan écrit les propositions de développement. Le candidat peut utiliser sa copie du plan pendant l'épreuve et pourra utiliser les notes manuscrites produites durant la préparation, pendant la première phase de l'interrogation dite « argumentation et présentation du plan ». L'épreuve s'organise en trois temps, prévus pour une durée totale d'un maximum de 50 minutes : une présentation du plan éventuellement suivie d'une brève discussion, un développement de 15 minutes et enfin une partie consacrée au dialogue et aux questions.

5.1.1 Première partie : le plan

Le candidat est convié à utiliser son temps de parole, 8 minutes maximum, pour présenter, argumenter et mettre en valeur son plan. Le plan écrit n'est ni une énumération de paragraphes, ni un exposé complet avec développement des démonstrations. Il définit avec précision les notions introduites, donne les énoncés complets des résultats fondamentaux, cite des exemples et des applications. Le plan doit être maîtrisé, c'est à dire que les résultats exposés doivent être compris ainsi que l'organisation d'ensemble. Il est souhaitable que le candidat connaisse dans leurs grandes lignes les démonstrations des résultats figurant au programme du concours : le jury pourra appliquer ce critère pour évaluer la maîtrise du plan. C'est au candidat de circonscrire son plan, notamment en ce qui concerne les énoncés débordant largement le cadre du programme. Il s'agit d'une épreuve orale, il est donc inutile de recopier le plan au tableau, dans la mesure où le jury possède une copie du texte. Il est souhaitable que le candidat utilise son temps de parole pour expliquer de façon systématique les articulations principales de son plan. Les détails techniques, s'ils sont clairement écrits dans le plan, pourront ne pas être repris oralement. Le candidat peut faire un bref exposé introductif et commenter utilement ensuite ses résultats principaux, les outils développés, l'organisation d'ensemble et mettre en perspective les méthodes utilisées. Il peut être utile de consacrer du temps à un exemple pertinent qui éclaire la problématique de la leçon, à faire usage du tableau pour illustrer ses propos. La présentation et la justification orale du plan sont des points importants d'appréciation. Quelques rares candidats prennent des libertés quant au libellé de la leçon ; les titres des leçons définissent un champ clair qu'il faut traiter entièrement. Le hors sujet est lourdement sanctionné. Le plan est rarement commenté. Le candidat se contente trop souvent d'une présentation linéaire du plan, sans en expliquer ou en mettre en valeur les articulations, ni faire ressortir les méthodes ou les résultats importants. Il en résulte parfois de (graves) incohérences dans l'ordre logique de présentation du plan. Insistons sur le fait, encore une fois, que la recopie de plans, disponibles sur Internet ou dans des livres spécialisés, ne constitue pas un travail suffisant. L'exposé oral ne peut être maîtrisé s'il ressemble à une récitation. La solidité de la maîtrise du plan, y compris dans les résultats simples, constitue un point essentiel de l'évaluation. Si les plans sont en général d'un bon niveau, rappelons que la maîtrise du plan, c'est-à-dire la compréhension des notions présentées et des principaux théorèmes, est un élément essentiel dont le jury tient le plus grand compte. Il faut faire effort de formalisation. Les candidats doivent maîtriser les quantificateurs et donner un énoncé mathématique entièrement correct (exemple : c'est le centre d'un p-groupe non trivial qui est non trivial). À la fin de cette présentation, le jury peut questionner brièvement le candidat. Ce temps de dialogue permet au candidat de préciser certains aspects du plan, de développer l'argumentation et de justifier certains choix. On peut aborder quelques points techniques sans entrer dans des détails qui retarderaient le début du développement. Le jury ne cherche pas à déstabiliser le candidat.

5.1.2 Deuxième partie : le développement

Le jury veille à la cohérence du plan et des propositions de développements eu égard au niveau du candidat. Il est souhaitable que le candidat recherche une adéquation entre son niveau intrinsèque et les développements proposés. Un candidat ne sera pas avantagé, s'il présente un développement non maîtrisé ou mal compris. Il faut toutefois veiller à rester au niveau de l'Agrégation ; les développements de niveau d'une classe de Terminale ne peuvent constituer une proposition de développement. Le jury demande au candidat de présenter deux développements au moins. Ceux-ci doivent être clairement mentionnés sur le plan écrit et non pas vaguement évoqués à l'oral. Le candidat doit préciser ce qu'il va démontrer, et le cas échéant, les résultats de son plan qu'il va admettre. Il dispose de 15mn (maximum) pour mener à bien ce développement. Lors du développement le jury attend du candidat des explications sur le déroulement de la preuve et l'intervention pertinente des notions développées durant l'exposé oral ; il peut être opportun, lors du développement, de se référer explicitement au plan présenté. Trop peu de candidats commencent leur développement par une rapide exposition des grandes idées ou étapes de ce dernier. Le jury aimerait avoir une petite explication de la démarche au début du développement. Il est inutile de se précipiter et il est utile de préciser ses notations ! Le développement ressemble parfois à une succession plus ou moins convaincante de résultats intermédiaires ad hoc. On ne saurait trop conseiller aux candidats d'illustrer leur développement (et éventuellement leur plan) par un ou plusieurs dessins : l'exposé y gagnerait en clarté pour le jury, le candidat pourrait ainsi montrer un souci louable de pédagogie. Rappelons que le développement doit être en rapport avec le sujet traité, la leçon présentée et le plan écrit. La récitation d'un développement est lourdement sanctionnée ; le jury veille à ce que les futurs enseignants comprennent ce qu'ils exposent et savent exposer ce qu'ils comprennent. C'est une qualité essentielle d'un futur agrégé. Tout hors sujet est sévèrement sanctionné. Toute utilisation d'un lemme non démontré et enfermant l'essence de la preuve est sanctionné. Le jury peut exiger la démonstration d'un lemme, soit-disant admis, si celui-ci est essentiellement le cfiur du développement. Dans le cas d'un développement ambitieux, il ne faut pas négliger les cas élémentaires. Enfin, même si le jury laisse évoluer le candidat durant son développement, en intervenant le moins souvent, il peut en cas de lacunes ou d'erreurs manifestes interrompre le candidat pour demander des explications. Cette intervention ne donne pas droit à extension du temps consacré au développement.

5.1.3 Troisième partie : questions et dialogue

Le jury vérifie systématiquement la maîtrise approfondie du plan présenté. C'est à dire qu'une part importante de la discussion portera sur le plan, ou trouvera sa source dans le plan présenté par le candidat. Le jury pose aussi des exercices en rapport direct avec la leçon, mais ne s'attend pas à ce que le candidat trouve une solution immédiate. Le but est plutôt de voir évoluer le futur agrégé dans une démarche scientifique rigoureuse et méthodique. Le candidat doit réfléchir, utiliser son plan et rattacher l'exercice à sa leçon. Le fait de ne pas résoudre un exercice ne doit pas être compris comme un échec et le candidat ne doit pas se décourager. Il doit au contraire rester attentif aux suggestions du jury. La qualité du dialogue est aussi un élément d'appréciation. Pendant cette discussion le jury veille à laisser un temps raisonnable au candidat pour réfiéchir, sans le submerger de questions. Le candidat doit être conscient que s'il met un énoncé dans son plan il doit se préparer à des questions élémentaires et à des calculs éventuels sur ce point. Une fois de plus, insistons sur le fait qu'il est essentiel de bien maîtriser ce que l'on propose. Encore trop de candidats proposent des résultats et des développements de très haut niveau sans pour autant maîtriser les bases. Par exemple, un candidat a proposé, dans une leçon sur les séries entières, le théorème d'Hadamard sur les séries lacunaires mais n'a pas su calculer la somme (-1){n-1}/n. Certains candidats, heureusement peu nombreux, ne sont pas assez combatifs et sollicitent le jury pour avoir de l'aide plutôt que de réfléchir par eux-mêmes. D'autres ne savent pas utiliser les théorèmes présents dans leur plan même sur des cas simples.