Cours1. J'ai traité

- les espaces normés (pages 1 et 2 du résumé) à l'exception des séries doubles.
Avec plus précisément
- la définition d'une norme d'un espace normé
- la définition d'une partie fermée en termes de suites
- la démonstration de la caractérisation des applications linéaires continues
- la norme d'opérateur en détail, sauf le fait que c'est une norme sur L(E,F)
[si E, F sont normés c'est l'espace des applications linéaires continues]
- en explicitant la définition des normes équivalentes
- la caractérisation de la complétion, avec moins de détails pour la réciproque [j'admets qu'on peut d'une suite de Cauchy (x_n) extraite une suite (y_n) tq ||y_{n+1}-y_n|| <= 2^{-n} et que la cv de (y_n) implique celle de (x_n)]
- les exemples de C[a,b] et C^k[a,b]
- les sous-espaces, produits, quotients en me contentant de préciser les normes, et montrer que s'en est une pour un quotient
- l'équivalence des normes par l'exercice 1-9 en trichant un maximum.

Apparemment beaucoup d'étudiants n'ont jamais rencontré de mathématiques, même à un niveau très élémentaire. Je regrette d'être allé un peu vite sur des démonstrations ultraclassiques.

Cours 2. J'ai

- présenté l'espace L^1, comme espace de classes de fonctions définies pp intégrables, sans rien démontrer,

- expliqué qu'une fonction continue sur I est intégrable si elle admet une intégrale absolument convergente,

- dit qu'on peut aussi montrer que l'intégrale de |f| est finie (sans définir la mesurabilité ce lundi, mais en annonçant qu'on peut s'en passer en première approximation)

- énoncé et commenté les 5 théorèmes principaux de la page 4.

Les 3 semaines de TD qui viennent portent sur cette matière. Les cours 3 et 4 auront pour objet d'approfondir un peu mais sont sans incidence sur les TD.

NB. On peut trouver une présentation comparée des théorèmes, suivant le niveau (CAPES, prépa, licence) requis, à l'adresse
irem.uhp-nancy.fr.Int/Int.htm
sachant que Netscape est impératif (pour lire de DHTML).

Cours 3

J'ai démontré les théorèmes fondamentaux à partir du théorème sue les séries, lequel est expliqué modulo une vérification de compatibilité entre convergences que je ne fais pas.
J'ai introduit les fonctions mesurables, par troncature et donne les propriétés de stabilité.
J'ai parlé de mesure de Stieljes, mais sans arriver aux exemples; j'en reparlerai la semaine prochaine.

A côté de cela j'ai complèté le discours en relevant des points particuliers de rédaction dans l'utilisation des théorèmes.

De plus je rappelle les méthodes élémentaires concernant les limites, la continuité ou la dérivation sous l'intégrale. Cela en vue du CAPES. J'y reviendrai.

Cours 4

J'ai donné les exemples de mesure de Stieljes.

Surtout j'ai présenté brièvement l'aspect probabiliste: tribus, fonctions mesurables, mesures abstraites, complétion de la tribu, fonction étagées, fonctions intégrables positives ...

A côté de cela je parle des intégrales semi-convergentes. On doit se ramener à des intégrales absolument convergentes, ou alors passer par des méthodes élémentaires, sans disposer d'aucun énoncé sur le sujet.

Cours 5

J'ai attaqué les intégrales doubles en partant des séries doubles.

J'ai aussi présenté brièvement l'aspect probabiliste et la notion de mesure produit.

Ce qu'il faut savoir est sur ma page. C'est très simple.

Cours 6

J'ai traité le problème du changement de variables dans le cas d'un C^1-difféomorphisme.

En application d'une lemme, qui vaut sans hypothèse d'inversibilité, j'ai donné le théorème de Sard: l'image du lieu singulier est de mesure nulle.

Bien entendu tout cela relève plus du calcul différentiel que du calcul intégral.

J'ai aussi présenté brièvement l'aspect probabiliste et la notion de mesure image.

Sur ma page j'insiste sur la différence entre le cas n=1 et le cas n > 1 dans la formulation du changement de variables.

Le programme de l'épreuve partielle s'arrête là. Je parle des espaces L^p le 4 novembre. La semaine du 11 je ne fais pas cours. Ensuite je passe à l'analyse de Fourier.

Cours 7.

J'ai traité les espaces L^p comme dans le sommaire.

Cours 8.

Je saute provisoirement la convolution pour attaquer les séries de Fourier. Je compte traiter le sujet en un seul cours, en omettant provisoirement la preuve de l'approximation par les polynômes trigonométriques.

Cours 9.

J'ai commencé la transformation de Fourier. J'ai traité le cas L^1, donné les théorèmes de dérivation, puis étudié l'espace S de Schwartz (il y a deux coquilles dans le sommaire: lire xD^n/phi + nD^{n-1}\phi, insérer \cal F). Pour certains points j'ai renvoyé aux exercices: Riemann-Lebesgue ou les deux exemples.

Partant de là, j'ai donné la formule de transposition et j'en ai déduit l'extension possible de la transformation par

<Ff, \phi> = <f , \bar F\phi>

pour \phi dans S, modulo l'énoncé suivant admis provisoirement:

si \int f\phi est définie et nulle pour toute \phi dans S (ou même seulement pour toute translatée d'une fonction gaussienne \psi_a) alors f = 0 pp.

J'en ai aussitôt déduit la réciprocité. Je me suis arrêté à la formule de Plancherel dans S.

Il me restera surtout à prolonger à L^2, ce qui est immédiat quand on sait que

|<Ff, \phi>| <= ||f||_2 ||\phi||_2

pour f dans L^2.

Sinon la suite est prévue comme suit, sachant que je suis absent le 2 décembre et que je me rattraperai en dédoublant des séances ultérieures.

9 décembre: espaces hilbertiens; bases hilbertiennes; convolution; unités approchées.

16 décembre: fin de la transformation de Fourier; révisions.