Remarque générale. Cette année l'option GA n'est pas activée. D'autre part ITN ne contient rien d'analytique complexe. Par conséquent le C de ARC ne peut être complètement oublié. Cela signifie que l'on traitera soigneusement le théorème de Montel, que l'on parlera un peu du calcul fonctionnel holomorphe. Pour bien faire, il faudrait aussi parler de l'interpolation complexe.

Cours1. J'ai commencé par les espaces hilbertiens, en allant jusqu'au théorème de représentation de Riesz, sur lequel je vais revenir au cours2. (3-1 à 3.7)

J'illustrerai le sujet par quelques révisions de licence, concernant les séries de Fourier et la transformation de Fourier.

TD1. On peut commencer, comme d'habitude, par l'exercice G1 de révision sur les espaces normés, puis attaquer H1 ... H4 ou H5 par exemple.

Cours2. Je vais reprendre l'exemple des séries et intégrales de Fourier pour donner des exemples de bases hilbertiennes (cf compléments), reviendrai sur le dual d'un espace hilbertien et parlerai de convergence faible (au premier degré, qui est celui de la convergence des produits scalaires). Ensuite je dirai un mot des espaces topologiques, puis des espaces vectoriels topologiques localement convexes (1-6 à 1-8), poursuivrai par les sous-espaces, produits et quotients (2-1, 2-3, 2-5) en simplifiant.

TD2. On peut achever la liste des exercices jusqu'à H7, et traiter l'exercice G6 qui remplace avantageusement celui sur les produits dénombrables.

S'il reste du temps, on peut attaquer H8, en prenant un peu d'avance sur le cours. On peut aussi faire l'exercice D6, qui est assez substanciel mais reprend bien la méthode de projection.

Cours3. J'ai repris quelques points ligitieux.
D'abord la convergence absolue d'une série dans L^p implique la convergence simple absolue pp.
Je suis revenu sur les produits, pour expliquer les propriétés suivantes:
- les projections p_i sont continues,
- une application f à valeurs dans le produit est continue si [et seulement si] ses composantes p_iof le sont.
Je suis revenu aussi sur les sous-espaces, pour expliquer les propriétés suivantes:
- l'injection canonique i:Y --> X est continue,
- une application f à valeurs dans Y est continue si [et seulement si] elle l'est en étendant l'espace d'arrivée, autrement dit si iof l'est.

J'ai traité les espaces compacts, en revenant sur le cas des espaces métriques (4-1 à 4-6) puis abordant celui des espaces topologiques, jusqu'au théorème de Stone-Weierstrass dont la démonstration est remise à plus tard (5-1, 5-2). Je n'ai pas parlé pas du compactifié d'Aleksandroff.

TD3. Les exercices de la liste compacité I d'abord.

Cours4. J'ai pris un peu d'avance et traité le théorème de Tychnonoff,
rappelant le cas d'un nombre fini d'espaces métriques, vu en Licence.
signalant, sans rien rien démontrer, celui d'un nombre fini d'espaces topologiques,
celui d'un produit dénombrable et d'un produit quelconque
Je me suis concentré sur le cas d'un produit dénombrable d'espaces métriques, en construisant une distance et appliquant le procédé diagonal.

Ensuite j'ai parlé de topologie faible et de compacité faible, comme dans le sommaire.

Cours 5. J'ai commencé par préciser quelques notions bien connues:

fonction ou application f:E --> F =
fonction ou application de E dans F =
fonction ou application définie dans ou sur E à valeur dans F =
famille indexée par E d'éléments de F.
notations f(x), f_x, F(E,F), F^E.

fonction ou application f:E --> F surjective =
fonction ou application de E sur F =
paramétrisation de F au moyen de E.

(cf Bourbaki, théorie des ensembles, fascicule de résultats)

Ensuite j'ai résumé l'épisode précédent. J'ai repris reprendre la compacité faible,
en traitant la compacité faible de la boule unité d'un espace hilbertien séparable, à l'aide de l'exercice G6, d'abord d'une façon qui imite le cas Banachique,
ensuite en utilisant une base hilbertienne (e_n) et la famille totale (2^{-n}e_n).

Pour finir, j'ai attaqué Ascoli, en expliquant le cas particulier et énonçant le cas général.

Cours 6. J'ai passé la quasi-totalité de mon à démontrer le théorème d'Ascoli dans le cas général, en essayant de ne pas omettre un détail (pour une fois).
J'ai même buté sur un point, pour montrer de façon élégante que sup_V d(f(x),f(x_0)) définissait une partie ouverte de C(K); je sais quand même faire.

Ensuite j'ai commencé la démonstration du théorème de Montel. Il me reste deux points à traiter:
a) le passage de |f(z)| <= M_n sur K_n à |f(z) - f(z')| <= C_n.
b) le fait que O(U) soit fermé dans C(U).

Cours 7. J'ai terminé le théorème de Montel, puis parlé des d'opérateurs compacts.
Ensuite je suis revenu sur les fonctions continues sur un espace compact, en me limitant pour les explications au cas métrisable: régularité, normalité, Urysohn ...
Enfin j'ai démontré le théorème de Weierstrass-Stone.

J'ai aussi donné des informations sur l'examen partiel.

Comme ce dernier a lieu plus tôt que d'habitude, j'ai limité à 9 les sujets de cours; en revanche les questions posées ne seront pas exactement découpées suivant les titres, car j'en ai assez des réponses presse-bouton.

Voici la liste des

1. Dual de l^p

2. Théorème de projection (sur une partie convexe fermée non vide d'un espace hilbertien).

3. Métrisabilité de la boule unité faible (d'un espace hilbertien séparable).

4. Théorème de Stone-Weierstrass.

5. Idéaux de C(K).

6. Théorème de Tykhonoff (pour une suite d'espaces métriques compacts).

7. Compacité de la boule unité faible (d'un espace hilbertien séparable).

8. Théorème d'Ascoli (dans le cas lipschitzien).

9. Théorème de Montel (compacité dans O(U)).

Cours 8. J'ai parlé essentiellement de la définition d'un espace complet et de la propriété de Baire.

A la fin du cours j'ai répondu à quelques questions. Notamment j'ai repris, à propos du théorème de Montel, la compacité dans C(U) de la partie H_2 que j'ai introduite. J'ai explicité son image dans le produit des sous-espaces H_{2,n} de C(K_n) définis de façon semblable.

Cours 9. J'ai terminé le cours sur les espaces complets: théorème de Baire, de Banach, du graphe fermé, de Banach-Steinhaus.

J'ai aussi répondu à quelques questions, sur des sujets variés.

Les trois cours du mois de décembre traitent de sujets un peu indigestes. Aussi vais-je essayer de les introduire assez longuement pour trier ensuite dans le texte du polycopié ce qui est vraiment important.

Cours 10,5. J'ai traité l'ensemble de la dualité, en insistant sur les articulations de Hahn-Banach en codimension 1. J'ai retiré le théorème de Mackey du programme.

Voici l'introduction.

1. problèmes de densité, dans un espace hilbertien d'abord.
- Le sev G est dense dans H ssi son orthogonal est nul.
Si G n'est pas dense, il existe donc f<>0 orthogonal à G.
Exemple: les fonctions d'Hermite dans L^2(R);
on considère f orthogonale aux x^ne^{-x^2}
et la transformée de Laplace bilatérale F de f(x)e^{-x^2};
c'est une fonction entière vérifiant F^{(n)}(0)= 0;
d'où F = 0, puis f=0 par Fourier inverse.

On traduit en termes de formes linéaires, pour étendre au cas banachique.
- En dimension finie, pour un sev F de E, on complète une base.
- Dans un ev normé, si F est fermé et E = F+Ra, on prend f(y+la) = l.
La continuité résulte de F --> F+Ra/F --> R.
Idem si F est de codimension finie.
Attention, si ||a||=1, alors ||f||=1/d(e,F).

2. Un peu de physique.
Pour un signal s(t), la valeur à l'instant t n'a pas de sens.
On ne peut mesurer qu'une intégrale entre t-e et t+e,
parce qu'il faut mettre en jeu un peu d'énergie.
On remplace f(t) par <f,\phi>.

3. Dualité.
On calque tout sur le modèle hilbertien.
- On revient sur l^p, où 1<=p<=\infty.
La base (simple) est la dualité entre l^p et l^q.
Cas particulier de l^\infty; l^1 est le dual de c_0.
- Idem pour L^p.
Cas particulier de l^\infty; ni le dual de L^1, ni même de C_0.
- Quid pour C(K), pour K(R)? M(K), M(R)
- Quid pour C_0(R)? M_1(R)

4. Distributions
- D et D': hors limites de ARC
- C^\infty[a,b] et D'_{[a,b]}: ramené à
- C^k[a,b] et D^k M[a,b] par <D^k m, \phi> = (-1)^k \int D^k\phi m
- S et S' <D^k f, \phi> = (-1)^k \int D^k\phi f
pour f continue à croissance lente.

Cours 12. Je parlerai des Algèbres de Banach. Je fais grâce de la multiplicativité.

Voici l'introduction.

1. Les algèbres normées (normierte Algebren) de Gelf'and et Shiloff
sont des espaces de Banach avec multiplication continue.
Exemple: le corps C; on veut calculer f[a] pour généraliser f(z).

2. Approche par les fonctions analytiques.
Exemple: exp(u) où u est un endomorphisme de R^n ou de E.

3. Approche par la formule intégrale de Cauchy.
f[a] = 1/2\pi i \int_g f(z) dz / z - a
d'où le problème d'inverser z - a, la notion de résolvante et de spectre,
d'où la question d'avoir un indice 1 aux points du spectre,
la nécessité d'intégrer sur un cycle, et non pas un lacet.

4. Application au théorème de Runge: si f est holomorphe au voisinage de K,
alors f est limite uniforme sur K de fonctions rationnelles régulières;
de plus on peut imposer un pôle par composante connexe bornée de K^c.
Si K^c est connexe, on approche f par des polynômes.
Je renvoie les courageux aux exercices.

5. Est-ce vrai pour f continue sur K et holomorphe à l'intérieur?
Exemple K = D'(0,1); on dilate en f(rz) où r < 1.
Quelle est l'adhérence des polynômes dans C(S^1) où S^1 est le cercle |z|=1?
Condition nécessaire: les coefficients de Fourier négatifs sont nuls.
Réciproque? Avec le noyau de Poisson Re(1 + \sum_{n>=1}(ze^{-it})^n)
= {1 - |z|^2 / |e^{it} - z|^2}

Tout cela pour justifier un peu le C de ARC. C'est plus des pistes pour un mémoire que pour l'examen lui-même.

Cours 13. Je traiterai les opérateurs compacts et démontrerai le théorème de Riesz.

Voici l'introduction.

1. En dimension finie n, si u est dans End(E), on a
dim ker u - codim Imu = dim ker u - n + dim Imu = dim Im u - codim ker u = 0
car si G est un supplémentaire de ker u, alors u induit un isomorphisme de G sur Im u.
D'où pour un système nxn, l'alternative de Fredholm.

Plus généralement, pour u dans L(E,F), dim ker u - codim Imu = dim E - dim F
ne dépend pas de u.

C'est faux en dimension infinie; cf le décalage à droite ou a gauche dans l^2;
cf aussi \int_0^x f(t) dt sur C[0,1].

2. Soit u dans End(C^n).
Une valeur propre L est une racine de det(u - X1) = 0.
Si L est une valeur propre, la suite ker(u-L1)^r stationne à partir de l'indice p de L,
et E = ker(u-L1)^p + Im(u-L1)^p, la somme étant directe.
On décompose le polynôme minimal en deux facteurs premiers entre eux.

3. En dimension infinie, on doit utiliser un argument de finitude quand même.
Ici intervient le théorème de Riesz, que je vais (enfin) démontrer.

Cours 14. Je reprendrai un peu tout, avec un grand panorama sur les convergences.

10. Théorème de Baire.

11. Théorème (d'homomorphisme) de Banach (ou de l'application ouverte).

12. Théorème de Banach-Steinhaus.

13. Théorème de Hahn-Banach en codimension 1.

14. Caractérisation du spectre d'un élément avec les caractères.

15. Théorème de Riesz sur les espaces normés localement compacts.