Une traduction très rapide.

Bourbaki est né dans les années 30. On prétend qu'il s'agissait au début de réaliser un modèle pour l'enseignement des mathématiques en licence. Aujourd'hui le traité est perçu comme une mise au point quant aux bases, pour permettre un développement plus harmonieux et finalement plus efficace de la recherche mathématique.

Quoi qu'il en soit, il est remarquable qu'une telle impulsion, donnée par les meilleurs mathématiciens de l'époque et motivée essentiellement par une recherche esthétique de cohérence, en dehors de tout pédagogisme, ait connu une traduction dans l'enseignement après une petite vingtaine d'années seulement. Cela témoigne au moins de l'intérêt supérieur que les mathématiciens de l'époque plaçaient dans la fonction enseignante. Rien de tel ne pourrait arriver aujourd'hui.

Un succès (trop) immédiat.

Cela a très bien marché, aussi bien dans l'université française qu'à l'étranger, presque trop bien en réalité, et cela explique peut-être pourquoi on a été si léger au moment de lancer, quelques dix ans plus tard et dans le second degré, la réforme des mathématiques dites "modernes". On a seulement oublié le point 1) que j'explique ci-dessous.

Distinguons cependant la demande des universitaires de modifier les programmes du lycée des débordements qui ont tout envahi, et ce dès l'école maternelle. Le Calcul infinitésimal de Dieudonné semble écrit en réponse à ces excès, de même qu'il répond à l'avance à l'utilisation abusive du Calcul formel qui sévit de nos jours,

même si la réforme des lycées semblait toujours nécessaire à son auteur.

Bien sûr, avec le collège unique, le tronc commun et le bac pour tous, la question n'est plus de mise aujourd'hui, les mathématiques ayant largement quitté l'enseignement secondaire.

Si j'essaie de résumer en effet la stratégie sous-jacente à Bourbaki, dont la lecture ne suppose "aucune connaissance particulière, mais seulement une certaine habitude du raisonnement mathématique et un certain pouvoir d'abstraction", je vois deux étapes.

1) En implicite, une étude approfondie sur des cas simples (qui forme l'habitude de l'abstraction et la capacité de raisonner).

En gros Bourbaki s'adressait à des étudiants ayant suivi un DEUG traditionnel, ou l'enseignement des classes préparatoires de l'époque. Comme Bourbaki, la réforme universitaire s'appuyait sur un enseignement multipliant les exemples et les méthodes.

En oubliant cela, on a sapé les bases. Il n'est pas si étonnant que l'enseignement universitaire d'aujourd'hui soit si peu adapté à la population à laquelle il s'adresse.

2) Explicitement, le choix d'un cadre assez général (et simple si possible).

On va développer ce second point. Notons auparavant que la critique de Bourbaki est à la mode. On s'y laisse facilement prendre. Imiter Bourbaki est pratiquement la pire injure que l'on puisse adresser à un enseignant. Pourtant, si l'on compare le traité à des ouvrages plus récents et à succès, français ou américains, on constate qu'au delà de certains aspects un peu rébarbatifs de présentation, Bourbaki est souvent très supérieur.

La théorie des ensembles.

L'application des principes se vérifie déjà avec l'utilisation de la théorie des ensembles. On n'en faisait pas en classe préparatoire, alors que suivant Bourbaki, comme Choquet, Dixmier, Cartan ... ou encore comme le dit Houzel dans son ouvrage de première année, on utilisera "librement" cette théorie.

Aujourd'hui tout s'est dégradé. Il est curieux de constater que la terminologie est aujourd'hui (mal) servie au lycée, et incomprise par beaucoup de nos étudiants de maîtrise. Les exemples abondent et il n'est pas nécessaire de chercher très loin. On n'enseigne plus ce qu'est une application injective ou surjective au lycée; seul le qualificatif bijectif est resté, et lié aux applications dérivables de dérivée strictement positive. L'idée que pour les solutions d'une équation comme y=f(x), il puisse y avoir unicité ou existence ou les deux, ne fait finalement pas partie du bagage de nos étudiants.

A fortiori la notion d'image réciproque d'une partie par une application doit-elle avoir peu de sens pour l'étudiant moderne. Pourtant on en fait largement usage. La mode étant aux probabilités, l'occasion se présente naturellement. On se demande ce que les étudiants auront retenu de ce qu'on leur raconte. Si les didacticiens veulent s'occuper, ils peuvent faire des tests. Mais, de grâce, qu'ils n'essaient pas d'en tirer eux-mêmes de leçon pour notre façon d'enseigner !

Quand on regarde un texte comme le polycopié de topologie générale de Dixmier, qui reproduit un cours de 1959, on y voit que la maîtrise des notions ensemblistes est un présupposé. A l'époque cela ne posait pas de problème. Après quelques minutes de mise au courant, tout le monde pouvait se lancer. La même remarque concerne l'ouvrage, intitulé Analyse tome II, de Choquet, tiré d'un cours un peu ultérieur. De toute façon, si un étudiant ne peut même pas comprendre des choses aussi simples que celles qu'on vient d'indiquer, que fait-il dans un cours de mathématiques? Pouvoir parler librement de notions ensemblistes de base fait partie des exigences incontournables pour un cours de mathématiques.

L'exemple de la continuité.

La notion de continuité est aussi un domaine où l'on peut analyser l'application des principes.

On en parlait peu en classe préparatoire, mais on voyait dès le lycée beaucoup d'exemples. En revanche, comme le verra plus loin, Dixmier démarrait son cours de licence avec les espaces topologiques.

Tout s'est dégradé ici aussi. Au lycée on n'a pas cessé de délirer dans tous les sens. A l'université, on s'est presque tous converti aux espaces métriques, par facilité apparente et pour suivre Dieudonné dans son premier volume des Fondements de l'analyse moderne. Une raison pratique y pousse; puisqu'il faut aussi parler de continuité uniforme et de complétude, l'investissement semble plus léger. Cependant c'est aussi manquer une occasion de mettre aisément en évidence ce qui est de nature topologique. D'ailleurs, et pour d'autres raisons, Dieudonné lui-même a regretté son choix dès le tome 2.

En tout cas j'ai eu l'occasion d'entendre Choquet expliquer son choix, au moment où il écrivait son livre d'Analyse. Devant exposer la notion de continuité, il pensait en effet qu'il fallait rapidement en venir au cadre général. Il préconisait donc la stratégie suivante: expliquer en détail la topologie de la droite, puis passer tout de suite à la définition des espaces topologiques.

Autrement dit, Choquet appliquait les principes fondateurs, sous la forme suivante:

1) bien comprendre les choses dans un cadre très simple,

2) prendre ensuite le "bon" point de vue dès qu'on le peut.

Il le dit d'ailleurs très bien dans la préface de son ouvrage.

D'ailleurs Dixmier, dans son polycopié de topologie de 1959, adopte à peu près la même stratégie. Il commence par la topologie de la droite, pour dire simplement comment passer à l'espace à n dimensions, et passer rapidement au cas général.

Cela ne signifie pas qu'on ne peut pas choisir le cadre des espaces métriques. Cependant, dans un tel cas, la ligne est plus difficile à suivre pour éviter les confusions. On en parlera dans la suite.

Notons encore que choisir les espaces métriques plutôt que les espaces normés se justifie pour présenter de manière intrinsèque, et non pas relative, des notions comme la compacité ou la connexité. Il faut donc insister sur la notion de sous-espace, et expliciter la topologie induite.

L'exemple des espaces de Fréchet ne saurait à lui seul justifier la notion d'espace métrique et de distance. On verra, dans la suite également, qu'il y aurait mieux à faire.

Pour en revenir aux généralités il est aujourd'hui difficile d'adopter le point 2) sans nourrir quelque complexe. Faut-il oser le "bon" point de vue, le seul capable d'éclairer les choses et d'en faciliter la mémorisation, et prendre le risque de paraître pédant, ou faut-il se résoudre à des explications maladroites, qualifiées d'élémentaires?

Notons qu'il ne s'agit pas d'enseigner le cadre le plus général pour le plaisir. Ainsi peut-on aussi bien considérer que les espaces uniformes ou les filtres n'ont pas vraiment leur place dans l'enseignement de second cycle.

Analyse ou algèbre?

On dit parfois que Bourbaki a réussi le mariage entre l'Algèbre allemande et l'Analyse française. Ce qui est sûr est que Bourbaki présente l'Analyse d'une manière systématique, de façon un peu "algébrisée" en quelque sorte. Cette obligation est devenue tellement naturelle pour ceux de la première génération à qui on l'a enseignée, qu'il leur est pratiquement impossible d'imaginer que l'on puisse s'y prendre autrement. Autrement dit, ils trouvent parfaitement banal qu'un livre soit écrit de cette façon, et ne se rendent même pas compte que c'est aujourd'hui l'exception. Entendre le commentaire de tel jeune enseignant expliquant que le cours d'Analyse de tel collègue lui plaisait parce qu'il était "algébrisé", fera l'effet d'une révélation.

Le côté systématique cultivé par Bourbaki est motivé par un souci de simplification. Pourquoi s'encombrer de considérations qui n'ont à voir avec tel sujet qui nous préoccupe, comme le dit si bien Dieudonné dans son Calcul infinitésimal?

Il en résulte un souci permanent de classer les notions en fonction des structures qu'elles concernent. Telle notion suppose une structure euclidienne, telle autre une orientation ... par exemple. De même, comme on l'a dit à propos des notions topologiques, s'attache-t-on à préciser ce qui est relatif, et à quoi, et ce qui est intrinsèque.

Dans la même veine on doit préconiser l'introduction d'outils très généraux. Ce faisant, on commence déjà la transition avec la conférence suivante.

Parmi ces outils, citons le passage au quotient, la dualité, le passage au complété, les espaces projectifs. Systématiquement l'enseignement d'aujourd'hui est revenu en arrière, en éliminant l'usage de ces outils. Les démonstrations y gagnent un peu en compréhension au mot à mot, mais il n'est pas possible d'en lire la trame. Or, s'il s'agit simplement de vérifier la correction logique locale, des ordinateurs sont sans doute déjà très capables de remplacer l'homme.

Un autre exemple.

En calcul différentiel, il est toujours délicat de traiter devant les étudiants le théorème d'inversion locale et ses applications. Cependant une version très scolaire, négligeant les idées sous-jacentes, n'est pas nécessairement la plus compréhensible.

Comparons par exemple l'énoncé obscur du cours de l'Ecole polytechnique de Schwartz, cours monumental dont nos programmes du second cycle ne pourraient gagner qu'à s'inspirer et écrit en l'occurrence par un mathématicien on ne peut plus éminent,

à l'énoncé éclairant, de contenu certes différent, tiré d'un polycopié de Serre sur les groupes et algèbres de Lie et écrit également par un mathématicien on ne peut plus éminent.

Le discours de Serre relève de la stratégie générale consistant à décrire des modèles. Cependant il fournit à cette occasion l'image mentale vraiment utile pour comprendre, image qui évite d'avoir à se poser des questions saugrenues.

Cette remarque devrait toucher les didacticiens. On ne recherche pas la meilleure façon d'enseigner par des expériences pédagogiques précoces, lesquelles risquent de se fonder sur une mauvaise interprétation de la chose à enseigner. On commence par chercher à bien concevoir ce que l'on est censé clairement exprimer.

En même la bonne conception n'est pas la propriété d'un mathématicien unique, aussi éminent soit-il. C'est une propriété collective.

Ce que je viens de dire ne contredit pas l'approche situationniste telle que la propose Brousseau, au contraire. En revanche elle contredit une majorité d'applications que l'on a pu en faire au Lycée.

Addendum.

J'ai dit qu'on avait sapé les bases secondaires de notre enseignement universitaire. On peut légitimement se demander pourquoi, sachant que Choquet ou Dieudonné n'étaient jamais allés plus loin que proposer un amendement, somme toute mineur, des programmes des classes scientifiques du lycée.

Il est malheureusement difficile de répondre sans glisser dangeureusement vers le terrain politique. Pourquoi a-t-on voulu par exemple que les étudiants "ne sachent plus calculer", et apprennent "un jargon prétendieux et inutile" à la place?

Ce jargon prétendieux est ce que nos collègues du second degré appellent la "rigueur". Il faut reconnaître qu'il leur plait beaucoup, même s'ils se lamentent parfois de ce qu'ils ne perçoivent pas comme les conséquences de leur choix. C'est cette "rigueur" qui a fait du professeur des mathématiques un enseignant privilégié lors des conseils de classe, qui permet encore d'instaurer des relations de maître à esclave entre concepteurs de programmes et inspecteurs régionaux, entre inspecteurs régionaux et enseignants, entre enseignants et élèves. Tout cela plait beaucoup à la hiérarchie, dès le pseudo-grade de caporal. Maintenant que les enseignants ont perdu toute autorité, la "rigueur" est tout ce qui leur reste. On ne peut vouloir le leur enlever sans ressentir de gêne.

Maintenant il y a d'autres paramètres, comme la mode de ce qu'on appelle indûment informatique, et qui se traduit par le déferlement des calculettes bientôt suivies par les calculatrices symboliques, avec pour conséquence l'inaptitude à toute espèce de calcul, alors que rien n'est fait pour préparer à la vraie informatique. Pourquoi y a-t-on cédé? Sous la pression de trois groupes d'influence qui sont 1) les analphabètes, qui n'ont jamais vu d'ordinateur et qui ne peuvent s'opposer par crainte d'être ringardisés, 2) les obscurantistes, informaticiens professionnels qui veulent garder jalousement les clefs de leur pouvoir, 3) les affairistes, qui profitent de l'occasion pour faire beaucoup de mousse à leur profit.

Dans le même registre, citons la mode des mathématiques prétendûment appliquées, à laquelle on cède aujourd'hui sous la pression de deux groupes d'influence qui sont 1) les analphabètes, comme pour l'informatique, 2) les opportunistes, qui, profitant de besoins éventuellement bien réels, vendent une salade qui n'a rien à voir avec les besoins considérés, comme celle qu'on peut découvrir dans les nouveaux programmes de terminale ES.

De même que le rigorisme est l'ennemi de la rigueur, l'utilitarisme est l'ennemi de l'utilité. Si l'on comprend éventuellement l'égarement des enseignants du secondaire, voire de l'inspection générale, on comprend mal pourquoi les élites scientifiques, à l'exception notable de Demailly, ont si peu réagi. Sans doute est-ce une manifestation de plus de l'absence de solidarité qui caractérise nos sociétés post-modernes.