On trouve dans ce qui suit des textes mathématiques divers - morceaux de cours, exercices corrigés, jeux, petites études sur des thèmes variés - ayant intéressé l'auteur à un moment ou à un autre. On ne saurait y trouver une homogénéité, ni au niveau des connaissances demandées, ni au point de vue des détails des démonstrations.

Exercices sur les séries entières

Exercices corrigés.

A  :   Divertissements mathématiques

Problème du SPHINX , pentaminos.

B  :   L'anneau $\mathbb{Z}+ \sqrt{n}\,\mathbb{Z}$

Etude de l'anneau, application à l'équation de Fermat: $a^2 - nb^2 = 1$. Les nombres premiers de $\mathbb{Z}+ \sqrt{2}\,\mathbb{Z}$

C  :   Rotations - Vissages - Symétries

Etude vectorielle dans $\mathbb{R}^3$, matrices de ces transformations.

D  :   Réduction des matrices carrées à la forme triangulaire

Réduction à la forme triangulaire et à la forme de Jordan.

E  :   Equations différentielles linéaires d'ordre $n$ à coefficients constants

Solutions de l'équation: $a_0y^{(n)} + a_1y^{(n-1)} + \cdots + a_ny = g$, en ramenant l'équation homogène à un système linéaire.

F  :   Fonction d'une matrice

Définition de $f(A)$ où $A$ est une matrice carrée et $f$ une fonction convenable.

G  :   Division harmonique

Extrait d'un cours de Math. élem. Etude géométrique de la division harmonique : faisceau harmonique, polaire.

H  :   Relations métriques dans le triangle

Extrait d'un cours de Math. élem. Calcul des différents éléments d'un triangle : hauteurs, bissectrices, médianes, aire, rayons des cercles circonscrit, inscrit et exinscrits.

I  :   Puissance d'un point par rapport à un cercle. Cercles orthogonaux. Pôles et polaires

Extrait d'un cours de Math. élem. Etude géométrique. Contient en particulier : le centre radical de trois cercles, les faisceaux de cercles orthogonaux, les pôles et polaires par rapport à un cercle, la transformation par polaires réciproques.

J  :   Quelques théorèmes classiques de géométrie plane

Extrait d'un cours de Math. élem. Droites de Simson, théorème de Ménélaüs, théorème de Cèva, cercle des neufs points d'Euler.

K  :   Inversion

Extrait d'un cours de Math. élem. Etude géométrique de l'inversion dans le plan. Inverseur de Peaucellier, transformation des droites et cercles par inversion, théorème de Ptolémée, étude analytique de l'inversion. Généralisation dans un espace euclidien.

L  :   Coniques

Extrait d'un cours de Math. élem. Etude géométrique des coniques. Définitions par diverses méthodes, tangente aux coniques, équation cartésienne, réduction d'une équation cartésienne, transformation par affinité, équation paramétrique, équation polaire, section plane des cylindres et cônes de révolution.

M  :   Convexité

Ensemble convexe d'un espace vectoriel, application convexe.

N  :   Anneaux euclidiens

Définition et propriétés principales d'un anneau euclidien.

O  :   Suites récurrentes: $u_n = u_{n-1} + b\cdot u_{n-2}$

Etude pour $b$ entier. Suites à coefficients entiers, propriétés arithmétiques.

P  :   Nombre d'or

Propriétés du nombre d'or, rectangle d'or, pentagone régulier, construction d'un tel pentagone, $\cos (\pi /5)$.

Q  :   Extraction des racines carrées

Justification de la méthode d'extraction des racines carrées.

R  :   Anneau contenu dans un de ses quotients

Exemple d'anneau isomorphe à un sous-anneau d'un de ses anneaux-quotients.

S  :   Equations de degré $3$ et $4$. Racines d'un polynôme mesurant les côtés d'un triangle

Méthode générale de résolution des équations de degré $3$ et $4$. Condition nécessaire et suffisante pour que les racines d'un polynôme de degré $3$ mesurent les côtés d'un triangle.

T  :   Fonctions de type positif

Définition et propriétés élémentaires des fonctions de type positif.

U  :   Exemple de fonction continue sur $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ uniquement

Elle est obtenue comme limite des suites vérifiant

$$\left\{ \begin{array}{l} a_{n+1} = \vert b_n - c_n\vert \\ b... ... a_n\vert \\ c_{n+1} = \vert a_n - b_n\vert \end{array}\right.$$

à partir de $a_0=x,\ b_0= 1,\ c_0 = 0\ .$ C'est la fonction qui vaut $1$ en zéro, 0 sur les irrationnels, et $1/q$, si $x=p/q$ avec $p$ et $q$ premiers entre eux.

V  :   Volume de la sphère de $\mathbb{R}^n$

Calcul du volume de la sphère en coordonnées sphériques.

W  :   Méthodes de calcul approché des intégrales

Méthode des rectangles, méthode des trapèzes, méthode de Simpson.

X  :   Loi de composition interne induite par une relation d'ordre

On définit la loi $\top$ par $x \top y = \sup{(x,y)}$.

Y  :   Résultats sur les séries

Dans un espace vectoriel normé, on étudie quelques problèmes sur les séries : réarrangement des termes, séries semi-convergentes, théorème de Mertens, sommation par paquets.

Z  :   Méthode d'Euler

Méthode d'accélération de convergence d'une série de terme général $a_n$ en posant

$$~~ b_n = 2^{-n-1}\, \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a_k \ .$$

AA :   Méthode de Newton

Recherche des valeurs approchées des solutions d'une équation $f(x)=0$ par la méthode de Newton.

AB :   Groupoïdes et groupes

Etude des propriétés élémentaires des ensembles munis d'une loi de composition interne, définitions équivalentes des groupes, groupoïdes associatifs, ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel, projecteurs.

AC :   Méthode du pivot

Utilisation de cette méthode pour divers problèmes d'algèbre linéaire, y compris la méthode de Gauss pour la réduction des formes quadratiques.

AD :   Affinités et transvections

Etude des endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension $n$ définis par

$$~~ u(x) = x + e^*(x)f \ ,$$

où $f$ est un vecteur fixé, et $e^*$ une forme linéaire fixée.

AE :   Produit de convolution

Produit de convolution dans $\mathbb{R}^n$.

AF :   Fonctions lipschitziennes

Fonctions lipschitziennes dans des espaces métriques et vectoriels, régularisée lipschitzienne, méthode des approximations successives.

AG :   Etoiles magiques

Mettre les $2n$ points d'intersection des côtés d'un polygône étoilé à $n$ côtés en bijection avec $\{1,\ 2,\ \ldots, \ 2n \}$ de telle sorte que la somme des nombres situés sur un même côté ne dépende pas de ce côté. Etude complète du cas $n=6$.

AH :   Fonctions affines par intervalles

Décomposition des fonctions affines par intervalles sur $\mathbb{R}$ en somme d'une fonction affine, et de valeurs absolues de fonctions affines.

AI :   Problèmes de dénombrement

Parties à $p$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments, partitions d'un ensemble fini, etc... fonctions génératrices de nombres classiques.

AJ :   Règle de l'Hospital

Théorèmes des valeurs intermédiaires pour les fonctions dérivées, règle de l'Hospital.

AK :   Sous-groupes additifs de $\mathbb{R}$

Caractérisation des sous-groupes additifs de $\mathbb{R}$.

AL :   Un théorème d'approximation polynomiale pondérée

Une condition suffisante pour que $\Phi (\vert x\vert)$ soit un poids fondamental sur $\mathbb{R}$.

AM :   Comparaison de longueurs de courbes

Majoration de la longueur d'un arc de courbe par la longueur de la corde, ou de lignes polygonales.

AN :   Un problème relatif à la numération

Trouver les nombres dont la division par $q$ consiste à déplacer le chiffre de la gauche du nombre à sa droite.

AO :   Trigonalisation simultanée

Il existe une base trigonalisant des matrices qui commutent 2 à 2.

AP :   Fonction $\Gamma$

Etude de la fonction $\Gamma$ d'après H.Cartan.

AQ :   Fonction $\wp$ de Weierstrass

Etude de la fonction $\wp$ de Weierstrass d'après H.Cartan.

AR :   Suites récurrentes linéaires et équations différentielles linéaires

Etude des équations différentielles linéaires et des suites récurrentes linéaires de même polynôme caractéristique.

AS :   Décomposition d'un nombre réel en base $a$. Courbes de Péano

Décomposition d'un nombre réel ou rationnel en base $a$. En base $10$, recherche du nombre de décimales de $x^2$ connaissant celles de $x$. Application continue de $\mathbb{R}$ sur un triangle en utilisant la décomposition en base $2$.

AT :   Nombres d'Euler et de Bernoulli. Polynômes de Bernoulli

Définition et propriétés de ces nombres, polynômes de Bernoulli, formule d'Euler-Mac Laurin.

AU :   Théorème de Morley

Les points d'intersection des trissectrices d'un triangle forment un triangle équilatéral.

AV :   Axiome du choix

Démonstration de l'équivalence entre cet axiome, le lemme de Tukey, le principe de maximalité de Hausdorff, le lemme de Zorn, et le théorème du bon ordre.

AW :   Théorème des fonctions implicites

Exposé sommaire sans démonstration. Démonstration du théorème d'inversion locale, méthode des multiplicateurs de Lagrange.

AX :   Extrema locaux

Extrema locaux d'une fonction de class C$^2$ de $\mathrm{\mathbb{R}}^n$ dans $\mathrm{\mathbb{R}}$, extrema liés.

AY :   Ensemble de points équidistants de deux ensembles

Quelques remarques sur de tels ensembles.

AZ :   Epi et hypo - cycloïdes

Construction et étude de ces courbes.

BA :   Point à l'infini - Notations de Landau

Point à l'infini d'un espace normé, Notations de Landau dans des espaces normés, fonctions équivalentes, cas des fonctions numériques, intégrales de fonctions équivalentes.

BB :   Prolongement de la dérivée d'une fonction

Cas des fonctions numériques, et des applications de $\mathrm{\mathbb{C}}$ dans un espace vectoriel.

BC :   Jauge

Définition d'une jauge sur un espace vectoriel.

BD :   Coefficients binomiaux

Définition et propriétés des coefficients binomiaux. Lois binomiales. Propriétés arithmétiques.

BE :   Autre méthode de calcul approché des intégrales

En utilisant des polynômes orthogonaux, on approche l'intégrale de $f$ par des combinaisons linéaires de valeurs de $f$ en certains points de l'intervalle d'intégration. On généralise en prenant des points multiples. On étudie quelques problèmes connexes de recherche de norme de certaines applications linéaires.

BF :   Nombres de Stirling et nombres de Bell

Définition et propriétés de ces nombres.

BG :   Systèmes différentiels linéaires

Méthodes de résolution des systèmes différentiels linéaires.

BH :   Barycentre

Définition et formules pour le barycentre dans un espace affine, généralisation avec une mesure de probabilité, transformation affine d'un barycentre, isobarycentre dans un triangle, volume d'un cylindre tronqué, coordonnées barycentriques.

BI :   Loi de Mendel

Etude mathématique d'une population soumise à une loi de Mendel.

BJ :   Relations binaires

Relations binaires définies sur un ensemble, recherche de relations extremales.

BK :   Formes quadratiques

Caractérisation d'une forme quadratique définie positive avec des déterminants extraits.

BL :   Calcul d'un déterminant par blocs

Formule et justification du calcul de déterminant par blocs.

BM :   Fractions continues

Définition et étude des fractions continues, caractérisation des rationnels et des nombres quadratiques, comparaison des développements de $x$, $-x$ et $1/x$, méthode de calcul des coefficients de la décomposition en fraction continue.

BN :   Jeu de taquin

Etude du jeu de taquin rectangulaire, caractérisation des figures réalisables.

BO :   Somme des distances d'un point à un ensemble fini de points

Etude du minimum des fonctions définies dans un espace euclidien par

$$f_k(M) = \sum_{i=1}^{n} \Vert\overrightarrow{A_iM} \Vert^k$$

et

$$~~f_{\infty}(M) = \sup_{1\le i \le n} \Vert\overrightarrow{A_iM} \Vert \ .$$

Cas particulier des triangles et des quadrilatères plans. Point de Fermat d'un triangle.

BP :   Espaces préhilbertiens : contre-exemples

Quelques propriétés des espaces hilbertiens, et des algèbres hilbertiennes. Contre-exemples à des propriétés vraies en dimension finie, dans le cas de dimension infinie.

BQ :   Matrices magiques

Quelques propriétés des ensembles de matrices magiques.

BR :   Variante du théorème de Weierstrass

Dans le théorème de Weierstrass, on peut imposer aux polynômes de passer par des points donnés.

BS :   Fonctions croissantes

Si $f$ est croissante, on étudie l'ensemble des nombres tels que $x \le f(x)$. Exemple de fonction croissante : la fonction Log$^+$.

BT :   Deux définitions : espaces affines - corps des quotients

On donne deux définition équivalentes des espaces affines, et une définition de l'anneau quotient d'un anneau.

BU :   Quelques inégalités

Inégalités hölderiennes, et inégalités de convexité.

BV :   Ensembles de type Cantor

Construction d'un ensemble de type Cantor de mesure de Lebesgue non nulle.

BW :   Papier Log-Log et autres

Principe général de papier millimétré avec échelles logarithmiques ou autres.

BX :   Décomposition des nombres rationnels

Un nombre rationnel $p/q$ où $p$ et $q$ sont étrangers, se décompose sous la forme d'une somme d'un nombre entier, et d'une combinaison linéaire de puissances négatives des facteurs premiers de $q$.

BY :   Polynômes

On définit dans l'espace des polynômes une isométrie $P \to P^*$ pour la norme associée au produit scalaire

$$(P\vert Q) = \frac{1}{2\pi} \int \limits_{0}^{2\pi } P(e^{it})\overline{Q(e^{-it})}\,dt \ .$$

On étudie les propriétés de $P^*$ et de quelques polynômes déduits de celui-ci, ainsi que les points où un polynôme atteint sa borne supérieure sur la boule unité.

BZ :   Séries formelles

On définit l'ensemble des séries formelles sur $\mathrm{\mathbb{C}}$ ou $\mathrm{\mathbb{R}}$, ainsi que différentes opérations dans cet ensemble.

CA :   Nombres de Le Lionnais

On étudie les séries entières

$$f_n(z) = \sum_{k=0}^{\infty} k^n\,z^k$$

et les nombres

$$~~ L_n = \frac{1}{2}f_n\left(\frac{1}{2}\right) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k^n}{2^{k+1}} \ .$$

CB :   Fonctions sous-additives

Quelques propriétés des fonctions sous-additives réelles.

CC :   Vitesse de convergence des suites

Soit deux suites $x_n$ et $y_n$ ayant la même limite. Si $x_n$ a un ordre plus grand que $y_n$ elle converge plus vite.

CD :   Fonctions périodiques

Propriétés et définitions des fonctions périodiques, somme et primitive de fonctions périodiques. Les sous-groupes additifs de $\mathbb{R}$.

CE :   Polynômes à coefficients dans l'anneau $\mathbb{Z}/_{\displaystyle 6\mathbb{Z}}$

On étudie quelques propriétés de ces polynômes, on recherche les polynômes premiers de degré 1 et 2, et on caractérise quelques idéaux de l'espace des polynômes.

CF :   Un lemme sur les séries entières

Formule permettant de sommer les séries entières de $s$ en $s$.

CG :   Homothéties et translations du plan

Etude d'un point de vue géométrique du groupe des homothéties- translations du plan.

CH :   Isométries du plan

Etude d'un point de vue géométrique des isométries du plan.

CI :   Fonctions bilogarithmes

Fonctions définies à partir de $\int\limits_0^x \frac{\ln(1-t)}{t}\,dt \ .$

CJ :   Relations bifonctionnelles

Fonctions solutions de la relation $f(\lambda x+\mu f(x)) = \nu f(x)$ .

CK :   Formule de di Bruno

Démonstration et conséquences de la formule de dérivation des fonctions composées, étude de l'ensemble des $n-$uplets $(k_1,\ldots,k_n)$ de nombres entiers positifs ou nuls tels que

$$~~ k_1+2k_2+\cdots + nk_n = n \ .$$

CL :   La fonction $x\mapsto e^{\frac{x}{1-x}}$

Etude des coefficients du développement en série entière de cette fonction.

CM :   Moyenne arithmético-géométrico-harmonique

Inégalités entre les moyennes arithmétique, géométrique et harmonique de $n$ nombres. Les suites construites à partir de trois nombres en prenant les trois moyennes sont monotones et ont la même limite.

CN :   Intégration des fractions rationnelles en sinus et cosinus

Caractérisation des fractions rationnelles de deux variables vérifiant une relation du type:

$f(-X,Y)= \pm f(X,Y)$, ou $f(-X,-Y)=f(X,Y)$. Application pour le calcul des primitives de la forme $\int f(\sin t,\cos t)\,dt$.

CO :   Représentation plane d'un espace à trois dimensions

Projection dans le plan du tableau pour obtenir un dessin réaliste.

CP :   Une jolie formule

On démontre la formule

$$~~ \int\limits_0^1 \frac{dx}{x^x} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^n} \ .$$

CQ :   Corps commutatif totalement ordonné - Axiomes de définition de $\mathbb{R}$

Définition d'un (anneau) corps totalement ordonné. Corps archimédiens. Equivalence des axiomes de définition de $\mathbb{R}$. Le corps des fractions rationnelles sur $\mathbb{R}$

CR :   Formes linéaires

Codimension, forme linéaire, dualité, orthogonalité.

CS :   Base d'entiers

Décomposition d'un nombre entier sur une suite strictement croissante d'entiers. Cas de la suite de Fibonacci.

CT:   Algèbres normées

Définition d'une algèbre normée. Norme équivalente sous-multiplicative. Recherche de telles normes dans des cas particuliers.

CU :   Inverse de matrice

On calcule l'inverse de la matrice

$$~~ A_n = \left[ \begin{array}{ccccccc} 1 & -2 & 0 & \cdots & ... ...cdots & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & n \end{array}\right]\ .$$

en introduisant un endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$.

CV :   Un problème de simplification de fraction

Quels sont les nombres rationels tels que $$\frac{abc}{bcd} = \frac{a}{d}$$.

CW :   Permutations

Etude des permutations, transpositions, cycles, signature etc. Application au groupe des isométries du cube, du tétraèdre, du triangle isocèle.

CX :   Intégrale de Riemann

On montre l'équivalence de différentes définitions de l'intégrale de Riemann, par sommes de Riemann, sommes de Darboux, intégrales supérieures et inférieures et variantes).

CY :   Théorème de Dini

Une démonstration élémentaire.

CZ :   Suites d'entiers

Etude des suites d'entiers dont les classes modulo $p$ sont périodiques.

DA :   Volume et aire d'une partie convexe de $\mathbb{R}^n$

Rapport $V/S$ entre le volume et l'aire latérale d'un domaine $D$ convexe.

DB :   Polynômes et racines réelles

Si les racines de $P$ sont réelles, $P'^2-PP''$ est positif. Réciproquement si cette expression est positive, $P$ a au moins une racine réelle.

DC :   Fonctions convexes

Définition et propriétés des fonctions convexes.

DD :   Espaces de dimension infinie

Caractérisation des espaces normés de dimension infinie.

DE :   Déterminants

On retrouve les propriétés du déterminant en sachant simplement qu'il est calculable par la méthode du pivot.

DF :   Raccordement C$^{\infty}$

Raccorder deux droites par une fonction C$^{\infty}$ ayant certaines propriétés de croissance ou de convexité.

DG :   Démonstration par récurrence

Les diverses manières de formuler une récurrence, déduite de l'axiome d'induction de Péano.

DH :   Symboles $\sum$ et $\prod$

Définition et propriétés élémentaires du symbole $\sum$ pour les sommes finies simples ou doubles. Définition du symbole $\prod$.

DI :   Tableau de variation

Un tableau de variation donné a priori sur un ségment est le tableau de variation d'un polynôme.

DJ :   Familles de polynômes

Quelques familles remarquables de polynômes

DK :   Ensembles infinis

Ensembles équipotents à $\mathbb{N}$, $\mathbb{R}$, $\mathcal{P}(\mathbb{R})$.

DL :   Homographies

DM :   Le produit de cinq nombres entiers consécutifs n'est pas un carré

Démonstration de ce résultat.

DN :   Etude d'une série entière au bord du disque de convergence

Théorème d'Abel, équivalence au bord.

DO :   Comparaison de normes

Sur l'ensemble des fonctions continûment dérivables sur $[0,1]$ nulles en 0 et en 1, on a $\Vert f\Vert _2 \le \frac{1}{\pi}\,\Vert f'\Vert _2$.

DP :   Sous-espace engendré par une famille de matrices

Sous-espaces engendrés par les matrices inversibles, nilpotentes, de projecteurs, orthogonales.

DQ :   Hyperplans et matrices orthogonales

Existence d'une matrice orthogonale dans tout hyperplan de $\mathcal{M}(\mathbb{R})$.

DR :   Fractions égyptiennes

Tout nombre rationnel se décompose comme somme de fractions égyptiennes distinctes.

DS :   Nombres constructibles

L'ensemble des nombres constructibles est un corps.

DT :   Construction de l'exponentielle et du logarithme népérien

Construction comme limites de suites.

DU :   PGCD des nombres $p^n-p$

Calcul de ce PGCD

DV :   Théoreme de Haar

Groupes topologiques. Démonstration du théorème de Haar et de sa réciproque.

DW :   Cours sur les polynômes

Cours de première année.

DX :   Fractions rationnelles

Cours de première année.

DY :   Méthodes pratiques de calcul de primitives

Cours de première année.

DZ :   Equations différentielles

Généralités, équations différentielles linéaires, systèmes différentiels linéaires.

EA : Formes bilinéaires, formes quadratiques, produits scalaires

Cours de deuxième année.

EB : Intégrales dépenant d'un paramètre

Cours de deuxième année.

EC : Fonctions différentiables

Cours de deuxième année.

ED : Intégrales multiples - Intégrales d'une forme différentielles

Cours de deuxième année.

EE : Séries de Fourier : résumé

EF : Théorème d'inversion locale

Cours de deuxième année.

EG : Formulaire

EH : Probabilités

Cours de deuxième année.

EI : Exercices de probabilités corrigés

Exercices sur un cours de deuxième année (différent de EH).

EJ: Exercices d'analyse de concours

Exercices corrigés rédigés par des auteurs divers.

EK: Fonctions numériques de plusieurs variables

Cours de première année.

EL: Exercices sur les fonctions circulaires réciproques et hyperboliques

Exercices corrigés.

EM: Exercices sur le calcul de primitives

Exercices corrigés.

EN: Exercices sur les intégrales multiples

Exercices corrigés.

EO: Exercices sur le calcul de longueur d'arcs de courbe

Exercices corrigés.

EP: Exercices sur les fonctions de deux variables

Exercices corrigés.

EQ: Quantité conjuguée

Utilisation de la quantité conjuguée dans les calculs.

ER: Nombres complexes

Introduction "élémentaire" des nombres complexes.