FONCTIONS DERIVABLES

  

Dans tout ce qui suit, $I$ désigne un intervalle de $\mathbb{R}$, non vide et non réduit à un point. La notation $\buildrel\circ\over{I}$ désigne l'intérieur de $I$ qui est le plus grand intervalle ouvert inclus dans $I$ c'est-à-dire l'intervalle $I$ privé de ses bornes.

1. Dérivabilité en un point, sur un intervalle

1.1. Définition de la dérivabilité

Soient $f$ une fonction de $I$ dans $\mathbb{R}$ et $a$ un point de $I$. On dit que la fonction $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si la fonction $\varphi$ définie sur $I \setminus \{a\}$ par $\varphi_a(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ admet une limite finie en $a$. Cette limite est alors appelée nombre dérivé de $f$ en $a$ et notée $f'(a)$.

La quantité $$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$ est traditionnellement appelée taux de variation de $f$ entre $a$ et $x$.

On dira que $f$ est dérivable à droite en $a$ (resp. à gauche en $a$) si et seulement si $\varphi$ admet une limite à droite (resp. à gauche) en $a$. Cette limite est alors appelée nombre dérivé à droite (resp. à gauche) de $f$ en $a$ et notée $f_{d}'(a)$ (resp. $f_{g}'(a)$).

Ainsi donc, $f$ est dérivable en $a\in\, \buildrel\circ\over{I}$ si et seulement si $f$ est dérivable à droite et à gauche en $a$ avec $f_{d}'(a)=f_{g}'(a)$.

Nous dirons que $f$ est dérivable sur $I$ si et seulement si $f$ est dérivable en tout point de $I$ et la fonction qui à tout point $a$ de $I$ associe le nombre dérivé de $f$ en $a$ sera appelé fonction dérivée de $f$, notée $f'$.

1.2. Interprétation géométrique de la dérivabilité

Le plan étant rapporté à un repère $(O,\vec{i},\vec{j})$, notons ${\cal C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans ce repère et pour tout élément $x$ de $I$, $M_{x}$ le point de ${\cal C}_{f}$ d'abscisse $x$ et d'ordonnée $f(x)$.

Soit maintenant $x$ un élément de $I$ distinct de $a$. Alors $M_{x}$ est distinct de $M_{a}$ et on observe que $\varphi_a(x)$ n'est autre que le coefficient directeur de la droite $(M_{a},M_{x})$.

Si $f$ est dérivable en $a$, le fait que ${\displaystyle \lim_{x\to a}\varphi_a(x)=f'(a)}$ montre que la famille de sécantes $(M_{a},M_{x})$ admet une position limite lorsque $x$ tend vers $a$, autrement dit que $C_f$ admet une tangente géométrique en $M_a$, à savoir la droite d'équation $y=f(a) + f'(a)(x-a)$.

Nous dirons aussi que $C_f$ admet $f'(a)$ pour pente en $M_a$.

Lorsque $f$ n'est pas dérivable en $a$, mais que ${\displaystyle \lim_{x\to a}\varphi_a(x)=+\infty}$ (ou $-\infty$), la même interprétation géométrique montre que $C_f$ admet la droite d'équation $x=a$ pour tangente en $M_a$.

De même lorsque $f$ est dérivable à droite (resp. à gauche) en $a$, peut-on dire que $C_f$ possède en $M_a$ une demi-tangente à droite (resp. à gauche), d'équation $y=f(a) + f'_d(a)(x-a)$ (resp. $y=f(a) + f'_g(a)(x-a)$).

1.3. Dérivabilité et développement limité à l'ordre 1

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $I$. Alors $f$ est dérivable en $a\in I$ si et seulement si elle admet un développement limité à l'ordre un en $a$. Celui-ci est alors donné par

$$~~ f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\circ(x-a)\ .$$

• Supposons tout d'abord $f$ dérivable en $a$. Nous avons pour tout $x\in I\setminus \{a\}$
  $$~~ f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)=(\varphi_a(x)-f'(a))(x-a)\ .$$
  Comme ${\displaystyle \lim_{x\to a\atop x\ne a}\varphi(x)=f'(a)}$ nous en déduisons que $f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)=\circ(x-a)$, ce qui est encore vrai si $x=a$. La fonction $f$ admet donc un d.l. 1 en $a$.
  

  Réciproquement, supposons que $f$ admette un d.l. 1 en $a$. Par définition il existe deux nombres réels $a_{0}$ et $a_{1}$ uniques tels que, pour tout $x$ de $I$,

  $$~~f(x)=a_{0}+a_{1}(x-a)+\circ(x-a)\ .$$
  On a alors $f(a)=a_0$, puis
  $$~~ \lim_{x\to a\atop x\neq a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=a_{1}\ .$$
  La fonction $f$ est donc dérivable en $a$ et $f'(a)=a_{1}$.$\Box$

  

La dérivabilité de $f$ en $a$ implique donc la continuité de $f$ en $a$. La réciproque est fausse comme le montre l'exemple de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\vert x\vert$ avec $a=0$.

Autre conséquence : si $f$ est dérivable en $a$ et si $f'(a)\neq 0$, on a $f(x)-f(a) \underset{a}{\sim} f'(a)(x-a)$.

2. Calcul de dérivées

2.1. Dérivabilité et opérations algébriques

Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $I$ dans $\mathbb{R}$, $\lambda$ un nombre réel et $a$ un élément de $I$. Supposons $f$ et $g$ dérivables en $a$. Alors,

$f+g$ est dérivable en $a$ et $(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)$

$\lambda f$ est dérivable en $a$ et $(\lambda f)'(a)=\lambda f'(a)$

$f\times g$ est dérivable en $a$ et $(f\times g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$.

Supposons de plus que $g$ ne s'annule pas sur $I$. Alors la fonction ${\displaystyle \frac{1}{g}}$ définie sur $I$ est dérivable en $a$ et ${\displaystyle \left (\frac{1}{g}\right )'(a)=-\frac{g'(a)}{(g(a))^{2}}}$.

En conséquence, ${\displaystyle \frac{f}{g}}$ est dérivable en $a$ et ${\displaystyle \left (\frac{f}{g}\right )'(a)=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{(g(a))^{2}}}$.

• Tous ces résultats proviennent des formules sur les développements limités, compte tenu de l'équivalence entre la dérivabilité en $a$, et l'existence d'un développement limité d'ordre 1 en $a$. $\Box$

  

2.2. Dérivabilité et composition

Soient $f$ une fonction de $I$ dans $\mathbb{R}$, $J$ un intervalle tel que $f(I)\subset J$, $g$ une fonction de $J$ dans $\mathbb{R}$ et $a$ un point de $I$. Supposons $f$ dérivable en $a$ et $g$ dérivable en $f(a)$. Alors $g \circ f$ est dérivable en $a$ et $(g\circ f)'(a)=g'(f(a))\times f'(a)$.

• Posons $b=f(a)$. Comme $f$ est dérivable en $a$ et $g$ en $b$, on
  $$~~ f(x) = f(a) + (x-a)f'(a) + \circ((x-a)) \quad \mathrm{et} \quad g(y) = g(b) + (y-b)g'(b) + \circ((y-b)\ .$$
  Alors par composition des d.l. ,
  $$~~ g \circ f(x) = g(b) + f'(a)g'(b)(x-a) + \circ((x-a)) \ .$$
  On en déduit que $g \circ f$ est dérivable en $a$ et que
  $$~~ (g\circ f)'(a) = f'(a)g'(b) = g'(f(a)) f'(a) \ .$$
  $\Box$

  

2.3. Dérivabilité et fonction réciproque

Soit $f$ une fonction de $I$ dans $\mathbb{R}$, continue sur $I$ et strictement monotone sur $I$. Rappelons qu'alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J=f(I)$, et que $f^{-1}$ est continue sur $J$.

Soit $b\in J$. Alors $f^{-1}(b)\in I$ et pour que $f^{-1}$ soit dérivable en $b$, il suffit que $f$ le soit en $f^{-1}(b)$ et que $f'(f^{-1}(b))\neq 0$. On a alors ${\displaystyle \left ( f^{-1}\right )'(b)=\frac{1}{f'(f^{-1}(b))}}$.

• Soit $y\in J$, $y\neq b$. Nous posons $b=f(a)$ et $y=f(x)$. Nous avons
  $$~~ \frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(b)}{y-b}=\frac{x-a}{f(x)-f(a)}= \frac{1}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}\ .$$

  Notons que tous les quotients ci-dessus sont bien définis puisque les fonctions $f$ et $f^{-1}$ sont strictement monotones.
  

  Comme nous avons supposé que $f$ est dérivable en $a$ et que $f'(a)\neq 0$, nous avons

  $$~~\lim_{x\to a\atop x\neq a}\frac{1}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}=\frac{1}{f'(a)}\ .$$
  Or, lorsque $y$ tend vers $b$, $x = f^{-1}(y)$ tend vers $a$ car la fonction $f^{-1}$ est continue au point $b$.
  Par conséquent
  $$~~\lim_{y\to b\atop y\neq b}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(b)}{y-b}=\lim_... ...q a}\frac{1}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}=\frac{1}{f'(a)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(b))}\ .$$
  $\Box$

  

2.4. Dérivées des fonctions réciproques circulaires

1) Posons $I = \,] \, {-\pi/2},\, {\pi/2} \, [ \,$, $J= \,] \, {-1},\, {1} \, [ \,$, $f(x)=\sin x$ et donc $f^{-1}(x) = \arcsin x$. Nous avons $f'(x)=\cos x$, donc ${\displaystyle \left ( f^{-1}\right )'(x)=\frac{1}{\cos{(\arcsin x )}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}}$.
Donc

$\forall x\in \,] \, {-1},\, {1} \, [ \,\ ,\quad (\arcsin)' (x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} .$

  

2) Posons $I= \,] \, {0},\, {\pi} \, [ \,$, $J= \,] \, {-1},\, {1} \, [ \,$, $f(x)=\cos x$ et donc $f^{-1}(x) = \arccos x$. Nous avons $f'(x)=-\sin x$, donc ${\displaystyle \left ( f^{-1}\right )'(x)=\frac{-1}{\sin{(\arccos x )}}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}}$.

Donc

$\forall x \in \,] \, {-1},\, {1} \, [ \,\ ,\quad (\arccos)'(x)=\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}.$

  

3) Posons $I = \,] \, {-\pi/2},\, {\pi/2} \, [ \,$, $J=\mathbb{R}$, $f(x)=\tan x$ et donc $f^{-1}(x) = \arctan x$. Nous avons $f'(x)=1+\tan^{2} x$, donc ${\displaystyle \left ( f^{-1}\right )'(x)=\frac{1}{1+\tan^{2}{(\arctan x )}}=\frac{1}{1+x^{2}}}$.

Donc

$\forall x \in \mathbb{R}\ , \quad (\arctan)' (x) =\displaystyle \frac{1}{1+x^{2}}.$

  

4) Posons $I= \,] \, {0},\, {+\infty} \, [ \,$, $J= \,] \, {1},\, {+\infty} \, [ \,$, $f(x)=\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits x$ et donc $f^{-1}(x) = \mathop{\mathrm{argch}}\nolimits x$. Nous avons $f'(x)=\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits x$, donc ${\displaystyle \left ( f^{-1}\right )'(x)=\frac{1}{\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits {(\mathop{\mathrm{argch}}\nolimits x )}}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}}$.

Donc

$\forall x\in \,] \, {1},\, {+\infty} \, [ \,\ , \quad (\mathop{\mathrm{argch}}\nolimits )'(x)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}.$

  

5) Posons $I=\mathbb{R}$, $J=\mathbb{R}$, $f(x)=\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits x$ et donc $f^{-1}(x) = \mathop{\mathrm{argsh}}\nolimits x$. Nous avons $f'(x)=\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits x$, donc ${\displaystyle \left ( f^{-1}\right )'(x)=\frac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits {(\mathop{\mathrm{argsh}}\nolimits x )}}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}}$.

Donc

$\forall x\in \mathbb{R},\quad (\mathop{\mathrm{argsh}}\nolimits )'(x) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}.$

  

2.5. Bilan sur la dérivabilité des fonctions usuelles


Les fonctions polynômes, les fonctions rationnelles, les fonctions logarithmes, les fonctions exponentielles, les fonctions puissances, les fonctions hyperboliques directes et réciproques, les fonctions trigonométriques directes et réciproques sont dérivables sur tout intervalle ouvert inclus dans leur domaine de définition.

Résumons les principaux résultats dans le tableau suivant :

Dérivée des fonctions usuelles

C$^{te}$	0
$x^a$	$ax^{a-1}$     ( $a \in \mathbb{R}$)
$e^x$	$e^x$
$\ln \vert x\vert$	$$\frac{1}{x}$$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$$1+\tan^2x = \frac{1}{\cos^2x}$$
$\mathop{\mathrm{cotan}}\nolimits x$	$$-(1+\mathop{\mathrm{cotan}}\nolimits ^2x) = -\frac{1}{\sin^2x}$$
$\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits x$	$\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits x$
$\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits x$	$\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits x$
$\th x$	$$1-\th^2x = \frac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits ^2x}$$
$\arctan x$	$$\frac{1}{1+x^2}$$
$\arcsin x$	$$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$\arccos x$	$$- \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
$\mathop{\mathrm{argsh}}\nolimits x$	$$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$
$\mathop{\mathrm{argch}}\nolimits x$	$$\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$$

3. Dérivées successives

Soient $I$ un intervalle ouvert non vide de $\mathbb{R}$ et $f$ une fonction de $I$ dans $\mathbb{R}$ dérivable sur $I$.

Si la dérivée $f'$ de $f$ est dérivable sur $I$, on note alors $f''$ sa dérivée et on l'appelle dérivée seconde de $f$.

Si la dérivée seconde $f''$ de $f$ est dérivable sur $I$, on note alors $f'''$ ou $f^{(3)}$ sa dérivée et on l'appelle dérivée troisième de $f$.

et ainsi de suite :
Supposons que $f$ ait une dérivée $(k-1)$-ième $f^{(k-1)}$, où $k$ est un entier, $k\geq 2$. Si la fonction $f^{(k-1)}$ est dérivable on pose

$$~~f^{(k)}=\left ( f^{(k-1)}\right )' \ ,$$

et on appelle cette fonction dérivée $k$-ième de $f$.
En posant par convention $f^{(0)}=f$, la formule précédente vaut aussi si $k=1$.

On vérifie facilement le résultat suivant :

Soient $p$ et $q$ deux entiers positifs ou nuls et soit $f$ une fonction $p+q$ fois dérivable. Alors nous avons

$$~~ f^{(p+q)}=\left ( f^{(p)}\right )^{(q)}=\left ( f^{(q)}\right )^{(p)}\ .$$

  

La fonction $f$ est dite $n$ fois continûment dérivable sur $I$ ou de classe $\mathrm{C}_{}^{n}$ sur $I$ si et seulement si $f$ est $n$ fois dérivable sur $I$ avec $f^{(n)}$ continue sur $I$.

La fonction $f$ est dite de classe $\mathrm{C}_{}^{\infty}$ sur $I$ si et seulement si $f$ est de classe $\mathrm{C}_{}^{n}$ sur $I$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

On observera que les fonctions polynômes, les fonctions rationnelles, les fonctions logarithmes, les fonctions exponentielles, les fonctions puissances, les fonctions hyperboliques directes et réciproques, les fonctions trigonométriques directes et réciproques sont toutes de classe $\mathrm{C}_{}^{\infty}$ sur tout intervalle ouvert inclus dans leur domaine de définition.

En ce qui concerne les opérations algébriques, et la composition, on établit facilement par récurrence les résultats suivants :

Si $f$ et $g$ sont $n$ fois dérivables sur $I$ et si $\lambda\in \mathbb{R}$, alors $f+g$, $\lambda f$ et $fg$ sont $n$ fois dérivables sur $I$ et

$$(f+g)^{(n)}=f^{(n)}+g^{(n)}$$

$$(\lambda f)^{(n)}=\lambda f^{(n)}$$

$$~~ (fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}\quad {\rm Formule\ de\ LEIBNIZ}\ .$$

• Les formules se démontrent par récurrence. Donnons simplement la démonstration de la formule de Leibniz. Elle est évidente au rang 0. Supposons qu'elle soit vraie au rang $n$. Alors Si $f$ et $g$ sont $n+1$ fois dérivables, elles le sont $n-$fois, donc $fg$ est $n$ fois dérivable et
  $$~~ (fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}\ .$$
  Les fonctions $f^{(k)}$ et $g^{(n-k)}$ sont alors dérivables pour $0 \le k \le n$ et $fg$ est $n+1$ fois dérivable. Alors, en dérivant, on obtient
  $$~~ (fg)^{(n+1)}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (f^{(k+1)}g^{(n-k)}+f... ...nom{n}{k} f^{(k+1)}g^{(n-k)}+\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}g^{(n-k+1)} \ .$$
  Mais, en faisant un changement de variable $k'=k+1$,
  $$~~ \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k+1)}g^{(n-k)} = \sum_{k'=1}^{n+1} \binom{n}{k'-1} f^{(k')}g^{(n-k'+1)} \ ,$$
  donc
  $$~~ (fg)^{(n+1)}= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k+1)}g^{(n-k)} =... ...m{n}{k-1} f^{(k)}g^{(n-k+1)}+\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}g^{(n-k+1)} \ .$$
  En utilisant alors la relation
  $$~~ \binom{n}{k-1}+\binom{n}{k} = \binom{n+1}{k} \ ,$$
  on en déduit que $fg$ est $n+1$ fois dérivable et que
  $$~~ (fg)^{(n+1)}= \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} f^{(k)}g^{(n+1-k)} \ ,$$
  ce qui est la formule au rang $n+1$. $\Box$

  

Si $f$ est $n$ fois dérivable sur $I$ à valeurs dans un intervalle $J$, et si $g$ est $n$ fois dérivable sur $J$ à valeurs dans $\mathbb{R}$, alors $g \circ f$ est $n$ fois dérivable sur $I$.

• Il existe une formule explicite (formule de di Bruno) donnant la dérivée $n-$ième de $g \circ f$. Nous nous contenterons de montrer par récurrence le résultat suivant :

  si $n \ge 1$, et si $f$ et $g$ sont $n$ fois dérivables, alors $g \circ f$ est $n$ fois dérivable et la dérivée $(g \circ f)^{(n)}$ peut s'écrire comme une somme de termes de la forme $f^{(i_1)}\cdots f^{(i_p)}g^{(k)} \circ f$, où les nombres $k$, $i_1$, ...$i_p$ sont compris entre 1 et $n$.
  

  C'est vrai si $n=1$ puisque $(g\circ f)' = f'g' \circ f$. Si l'on suppose le résultat vrai au rang $n$, soit $f$ et $g$ $n+1$ fois dérivables. Alors $g \circ f$ est $n$ fois dérivable et la dérivée $(g \circ f)^{(n)}$ peut s'écrire comme une somme de termes de la forme $f^{(i_1)}\cdots f^{(i_p)}g^{(k)} \circ f$, où les nombres $k$, $i_1$, ...$i_p$ sont compris entre 1 et $n$. Mais toutes les fonctions intervenant dans cette formule sont dérivables, et la dérivée $(g \circ f)^{(n+1)}$ peut s'écrire comme une somme des dérivées de termes de la forme $f^{(i_1)}\cdots f^{(i_p)}g^{(k)} \circ f$, où les nombres $k$, $i_1$, ...$i_p$ sont compris entre 1 et $n$. En dérivant on obtient

  $$~~ ( f^{(i_1)}\cdots f^{(i_p)} g^{(k)} \circ f)' = f^{(i_1)}\cdo... ...f + \sum_{j=1}^p f^{(i_1)}\cdots f^{(i_j+1)}\cdots f^{(i_p)}g^{(k)} \circ f \ ,$$
  et tous les coefficients $k+1$, $i_j$ et $i_j+1$ sont compris entre 1 et $n+1$. On obtient le résultat au rang $n+1$. $\Box$

  

Pour ce qui est de la fonction réciproque :

Si $f$ est $n$ fois dérivable sur $I$ ( $n\in\mathbb{N}^{*}$), et telle que $f'$ soit de signe constant et ne s'annule pas sur $I$, elle réalise une bijection de $I$ sur $J=f(I)$ et $f^{-1}$ est $n$ fois dérivable sur $J$.

• Supposons par exemple $f'>0$ sur $I$. Alors $f$ est strictement croissante et continue sur $I$, donc réalise une bijection de $I$ sur $J=f(I)$. Alors $f^{-1}$ est dérivable sur $I$, et
  $$~~ (f^{-1})' = \frac{1}{f'\circ f^{-1}} \ .$$
  Donc le résultat est vrai si $n=1$. Il suffit d'écrire $(f^{-1})' = \varphi \circ f' \circ f^{-1}$, où $\varphi$ désigne l'application de $\,] \, {0},\, {+\infty} \, [ \,$ dans $\,] \, {0},\, {+\infty} \, [ \,$ définie par $\varphi(x) = 1/x$, et de remarquer que $\varphi$ est de classe $\mathrm{C}_{}^{\infty}$ sur $\,] \, {0},\, {+\infty} \, [ \,$ pour montrer que, si le résultat est vrai pour un $n \in \mathbb{N}^*$, il est vrai à l'ordre $n+1$. Le théorème de composition ci-dessus permet en effet d'affirmer que la dérivée première de $f^{-1}$, à savoir $\varphi \circ f' \circ f^{-1}$, est $n$ fois dérivable sur $J$, c'est-à-dire que $f^{-1}$ est $n+1$ fois dérivable sur $J$.$\Box$

  

Remarque : on peut montrer que l'hypothèse : $f'$ ne s'annule pas sur $I$, implique que $f$ est de signe constant sur $I$.

4. Théorème de ROLLE, théorème des accroissements finis

Soient $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$, $f$ une fonction définie sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ et soit $c$ un point de $I$.
On dira que $f$ présente un maximum local (resp. minimum local) au point $c$, s'il existe $\eta >0$ tel que, pour $x\in I\, \cap\, \,] \, {c-\eta},\, {c+\eta} \, [ \,$ on ait $f(x)\leq f(c)$ (resp. $f(x)\geq f(c)$).

Soient $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$, $f$ une fonction définie sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ et soit $c$ un point de $I$. On suppose que $f$ est dérivable au point $c$ et que $f$ présente au point $c$ un maximum local (ou un minimum local). Alors $f'(c)=0$

  

La réciproque de cette proposition est fausse. Pour s'en convaincre, il suffit de considérer $f(x)=x^{3}$. Nous avons $f'(0)=0$ pour autant $f$ ne présente ni maximum local, ni minimum local en $x=0$.

• Supposons qu'il s'agisse d'un maximum local. Il existe donc $\eta >0$ tel que pour tout $x\in I$, $\vert x-c\vert<\eta$ nous ayons
  $$~~\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\geq 0\ {\rm si}\ x<c\quad {\rm et}\quad \frac{f(x)-f(c)}{x-c}\leq 0\ {\rm si}\ x>c \ .$$
  En faisant tendre maintenant $x$ vers $c$ avec $x< c$ dans la première inégalité et $x$ vers $c$ avec $x>c$ dans la seconde nous obtenons que $f_g'(c)\geq 0$ et $f'_d(c)\leq 0$. Par conséquent $f'(c)=0$ car $f_g'(c) = f'_d(c) = f'(c)$. $\Box$

  

Théorème de ROLLE

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tel que $a<b$ et $f$ une application de $\,[ \, {a},\, {b} \, ] \,$ dans $\mathbb{R}$, continue sur $\,[ \, {a},\, {b} \, ] \,$ et dérivable sur $\,] \, {a},\, {b} \, [ \,$.

Si $f(a)=f(b)$ alors il existe $c\in \,] \, {a},\, {b} \, [ \,$ tel que $f'(c)=0$.

(Voir figure 1, ci-dessous)

• Comme $f$ est continue l'image par $f$ du segment $\,[ \, {a},\, {b} \, ] \,$ est un segment $\,[ \, {m},\, {M} \, ] \,$.
  

  Si $m=M$ alors pour tout $x\in \,[ \, {a},\, {b} \, ] \,$ $f(x)=m$ et donc tout point $c\in \,] \, {a},\, {b} \, [ \,$ convient.
  

  Si $m\neq M$ alors l'une au moins de ces deux quantités n'est pas égale à $f(a)=f(b)$. Nous supposerons par exemple que $M\neq f(a)$. Comme $f$ est continue sur $\,[ \, {a},\, {b} \, ] \,$, il existe $c\in \,[ \, {a},\, {b} \, ] \,$ tel que $f(c)=M$. Plus précisement, $c\in \,] \, {a},\, {b} \, [ \,$ car $M\neq f(a)$ et $M\neq f(b)$. Ainsi l'application $f$ présente un maximum au point $c$ et d'après la proposition précédente, nous avons $f'(c)=0$. $\Box$

  

Théorème des accroissements finis

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tel que $a<b$ et $f$ une application de $\,[ \, {a},\, {b} \, ] \,$ dans $\mathbb{R}$, continue sur $\,[ \, {a},\, {b} \, ] \,$ et dérivable sur $\,] \, {a},\, {b} \, [ \,$.

Il existe $c\in \,] \, {a},\, {b} \, [ \,$ tel que $f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)$.

(Voir figure 2, ci-dessus)

• Il suffit d'appliquer le théorème de Rolle à l'application $g$ définie, pour tout $x\in \,[ \, {a},\, {b} \, ] \,$ par
  $$~~ g(x)=f(x)-f(a)-\left (\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right )(x-a)\ .$$
  $\Box$

  

5. Applications du théorème des accroissements finis

5.1. Inégalité des accroissements finis

Soit $f$ une fonction de $I$ dans $\mathbb{R}$, continue sur $I$, dérivable sur $\buildrel\circ\over{I}$. Supposons qu'il existe un nombre réel $M$ tel que pour tout $t\in \buildrel\circ\over{I}$, $\vert f'(t)\vert\leq M$. Alors pour tous $x$ et $y$ éléments de $I$, $\vert f(x)-f(y)\vert\leq M\vert x-y\vert$.

• Soient $x$ et $y$ deux éléments de $I$ tels que $x<y$. La fonction $f$ est continue sur $\,[ \, {x},\, {y} \, ] \,$, dérivable sur $\,] \, {x},\, {y} \, [ \,$. D'après le théorème des accroissements finis, il existe $c\in \,] \, {x},\, {y} \, [ \,$ tel que
  $$~~ f(x)-f(y)=(x-y)f'(c)\ .$$
  Or $c\in \buildrel\circ\over{I}$, donc nous avons $\vert f'(c)\vert\leq M$. Nous en déduisons ainsi que
  $$~~ \vert f(x)-f(y)\vert\leq M\vert x-y\vert\ .$$
  $\Box$

  

Condition suffisante de dérivabilité en une borne d'un intervalle : théorème de prolongement de la dérivabilité

Soit $f$ une fonction de $I$ dans $\mathbb{R}$, continue sur $I$, dérivable sur $\buildrel\circ\over{I}$. Supposons que $I$ admette un plus petit (resp. plus grand) élément $a$. Dans ces conditions

si $f'$ admet une limite à droite (resp. à gauche) $\ell$ finie en $a$, $f$ est dérivable à droite (resp. à gauche) en $a$ avec $f_{d}'(a)=\ell$ (resp. $f_{g}'(a)=\ell$).

si $\lim\limits_{x \mapsto a \atop x>a} f'(x)=+\infty$ ou $-\infty$ (resp. si $\lim\limits_{x \mapsto a \atop x<a} f'(x)=+\infty$ ou $-\infty$), $f$ n'est pas dérivable à droite (resp. à gauche) en $a$.

• Supposons par exemple que $f$ soit continue sur $\,[ \, {a},\, {b} \, ] \,$, dérivable sur $\,] \, {a},\, {b} \, [ \,$, et que $f'$ admette une limite finie à droite $\ell$ en $a$. Soit $x$ dans $\,] \, {a},\, {b} \, [ \,$. D'après le théorème des accroissements finis, il existe $c_x$ dans $\,] \, {a},\, {x} \, [ \,$, tel que
  $$~~ \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(c_x) \ .$$
  Soit alors $\varepsilon >0$. Il existe $\alpha > 0$, tel que, si $a < x < a+\alpha$, on ait $\vert f'(x)-\ell\,\vert < \varepsilon$. Alors, on a également $a < c_x < a+\alpha$, et donc
  $$~~ \left\vert \frac{f(x)-f(a)}{x-a}- \ell \,\right\vert = \vert f'(c_x)-\ell\,\vert < \varepsilon \ ,$$
  ce qui montre que $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ tend vers $\ell$, lorsque $x$ tend vers $a$ par valeurs supérieures. Donc $f$ est dérivable à droite en $a$, et $f'_d(a) = \ell$.
  

  De manière analogue, si $\ell$ est infinie, on montre encore que $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ tend vers $\ell$, et cette fois $f$ n'est pas dérivable à droite en $a$. $\Box$

  

Caractérisation des fonctions constantes sur un intervalle

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, à valeurs dans $\mathbb{R}$. Alors $f$ est constante sur $I$ si et seulement si $f$ est dérivable sur $I$ avec $f'=0$.

  

En conséquence, si $f$ et $g$ sont deux fonctions dérivables sur $I$ telles que $f'=g'$, il existe un réel k tel que pour tout $t\in I$, $g(t)=f(t)+k$.

• Si $f$ est constante sur $I$ elle est dérivable sur $I$ et $f'=0$.
  

  Réciproquement, supposons $f$ dérivable sur $I$ avec $f'=0$. Soient $x$ et $y$ deux points de $I$ tels que $x<y$. D'après le théorème des accroissements finis, il existe $c\in \,] \, {x},\, {y} \, [ \,$ tel que

  $$~~ f(x)-f(y)=(x-y)f'(c)\ .$$
  Or $f'(c)=0$, par conséquent $f(x)=f(y)$. $\Box$

  

5.2. Condition nécessaire et suffisante de monotonie sur un intervalle

Soit $f$ une fonction de $I$ dans $\mathbb{R}$. Rappelons que $f$ est dite croissante sur $I$ si et seulement si :

$$~~ \forall (x,y)\in I^{2},\quad (x<y\Rightarrow f(x)\leq f(y))\ .$$

et que la fonction $f$ est dite strictement croissante sur $I$ si et seulement si :

$$~~ \forall (x,y)\in I^{2},\quad (x<y\Rightarrow f(x)< f(y))\ .$$

De manière analogue on définit la notion de fonction décroissante (resp. strictement décroissante) sur $I$.

Supposons $f$ continue sur $I$ et dérivable sur $\buildrel\circ\over{I}$. Alors :

$f$ est croissante (resp. décroissante) sur $I$ si et seulement si $f'\geq 0$ (resp. $f'\leq 0$) sur $\buildrel\circ\over{I}$.

$f$ est strictement croissante (resp. strictement décroissante) sur $I$ si et seulement si $f'\geq 0$ (resp. $f'\leq 0$) sur $\buildrel\circ\over{I}$ et s'il n'existe pas de points $c$ et $d$ de $\buildrel\circ\over{I}$ tels que $c<d$ et $f'=0$ sur $\,[ \, {c},\, {d} \, ] \,$ (ce qui sera en particulier réalisé si $f'$ ne s'annule qu'en un nombre fini de points).

• Supposons $f$ croissante et soit $a\in \buildrel\circ\over{I}$. Alors pour tout $x\in I$, $x\neq a$, nous avons $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\geq 0$. Nous faisons maintenant tendre $x$ vers a et nous obtenons ainsi que $f'(a)\geq 0$.
  

  Réciproquement supposons que $f'\geq 0$ sur $\buildrel\circ\over{I}$. Soient $x$ et $y$ deux points de $I$ tels que $x<y$. D'après le théorème des accroissements finis, il existe $c\in \,] \, {x},\, {y} \, [ \,$ tel que $f(x)-f(y)=(x-y)f'(c)$. Or $f'(c)\geq 0$ et $x-y> 0$. Nous avons donc $f(x)-f(y)\geq 0$.
  
  

  De plus supposer qu'il n'existe pas de points $c$ et $d$ de $\buildrel\circ\over{I}$ tels que $c<d$ et $f'=0$ sur $\,[ \, {c},\, {d} \, ] \,$ est équivalent d'après la proposition précédente à supposer qu'il n'existe pas de points $c$ et $d$ de $\buildrel\circ\over{I}$ tels que $c<d$ et $f$ constante sur $\,[ \, {c},\, {d} \, ] \,$. $\Box$

  

6. Formules de Taylor

6.1. Formule de Taylor-Lagrange


Il s'agit d'une généralisation de la formule des accroissements finis

Soient $n \in \mathbb{N}$, $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$, $f$ une fonction de $I$ dans $\mathbb{R}$, $a$ un point de $I$. Supposons que la fonction $f$ soit $n+1$ fois dérivable sur $I$. Alors pour tout $x\in I\setminus \{a\}$, il existe un nombre réel $c$ strictement compris entre $a$ et $x$ tel que

$$~~ f(x)=\left ( \sum_{k=0}^{n}\frac{(x-a)^{k}}{k!}f^{(k)}(a)\right )+\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(c)\ .$$

  

Cette formule permet de minorer (resp. majorer) $f$ sur $I$ par une fonction polynômiale dès lors que $f^{(n+1)}$ est minorée (resp majorée) sur $I$.

• Soit $x\in I$ tel que $x>a$ et posons pour tout $t\in I$,
  $$g(t)=f(x)-\sum_{k=0}^{n}\frac{(x-t)^{k}}{k!}f^{(k)}(t)$$
  et
  $$~~ h(t)=g(t)-\left ( \frac{x-t}{x-a}\right )^{n+1}g(a)\ .$$
  La fonction $h$ est continue sur $\,[ \, {a},\, {x} \, ] \,$, dérivable sur $\,] \, {a},\, {x} \, [ \,$ et $h(a)=h(x)=0$. D'après le théorème de Rolle, il existe $c\in \,] \, {a},\, {x} \, [ \,$ tel que $h'(c)=0$.
  

  Or un simple calcul nous montre que pour tout $t\in I$

  $$~~ h'(t)=(n+1)\frac{(x-t)^{n}}{(x-a)^{n+1}}\left [ g(a)-\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(t)\right]\ .$$
  Donc il existe $c\in \,] \, {a},\, {x} \, [ \,$ tel que
  $$~~ g(a)=\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(c)\ .$$
  $\Box$

  

6.2. Formule de Taylor-Young

Soient $n\in\mathbb{N}^{*}$, $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$, $f$ une fonction de $I$ dans $\mathbb{R}$, $a$ un point de $I$. Nous avons démontré dans le chapitre 5, en nous appuyant essentiellement sur l'inégalité des accroissements finis, que si $f$ est $n$ fois dérivable sur l'intervalle $I$, il existe une fonction $\varepsilon$ de $I$ dans $\mathbb{R}$ de limite nulle en 0 telle que

$$~~ \forall x\in I,\quad f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{(x-a)^{k}}{k!}f^{(k)}(a)+(x-a)^{n}\varepsilon(x)\ ,$$

ce que l'on écrit aussi sous la forme

$$~~ f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{(x-a)^{k}}{k!}f^{(k)}(a)+\circ((x-a)^{n})\ .$$

Il est possible de démontrer que la conclusion tient encore si l'on suppose seulement que $f$ est $(n-1)$ fois dérivable sur $I$ et que $f^{(n-1)}$ est dérivable en $a$.

Les deux formules mettent en évidence le polynôme

$$~~ T_n(x) = \sum_{k=0}^{n}\frac{(x-a)^{k}}{k!}f^{(k)}(a) \ ,$$

qui est appelé polynôme de TAYLOR à l'ordre $n$ en $a$ de $f$.

Lorsque $f$ est une fonction polynôme de degré $n$, la formule de TAYLOR-LAGRANGE nous montre que, quel que soit $a$, la fonction $f$ coïncide avec son $n-$ième polynôme de TAYLOR en $a$. Lorsque $f$ n'est pas polynomiale, et en la supposant pour simplifier $\mathrm{C}_{}^{\infty}$, elle ne coïncide avec aucun de ses polynômes de TAYLOR (sinon elle serait polynomiale !), mais on peut se demander si, sur un segment donné $\,[ \, {a-r},\, {a+r} \, ] \,$, la suite de ses polynômes de TAYLOR ne fournit pas une suite d'approximations polynomiales de $f$ de plus en plus ``performantes''. La réponse est ``pas nécessairement'' , comme le montrent les deux exemples suivants de fonctions toutes deux $\mathrm{C}_{}^{\infty}$, dont les polynômes de TAYLOR ont un comportement totalement différent.

Exemple 1 :

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sin x$ que nous regardons sur $\,[ \, {-2\pi},\, {2\pi} \, ] \,$. C'est une fonction $\mathrm{C}_{}^{\infty}$ dont toutes les dérivées sont majorées, en valeur absolue, par 1. De plus, en raison de la parité de $f$, les polynômes $T_{2n+1}$ et $T_{2n+2}$ sont égaux. Il résulte alors de la formule de TAYLOR-LAGRANGE en 0, que, pour tout $x$ réel, il existe $c$ compris entre 0 et $x$, tel que

$$~~ f(x) = T_{2n+1}(x) + f^{(2n+2)}(c)\frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!}\ ,$$

et on en déduit donc la majoration

$$~~ \vert f(x) - T_{2n+1}(x)\vert \le \frac{\vert x\vert^{2n+2}}{(2n+2)!}\ .$$

Comme le membre de droite admet pour limite zéro, il en résulte que, lorsque $x$ est fixé, la suite $(T_{2n+1}(x))_{n\ge 0}$ converge vers $f(x)$. En fait, si $r \in \,] \, {0},\, {+\infty} \, [ \,$, on a, pour tout $x \in \,[ \, {-r},\, {r} \, ] \,$,

$$~~ \vert f(x) - T_{2n+1}(x)\vert \le \frac{r^{2n+2}}{(2n+2)!}\ ,$$

et, quand $n$ augmente, les polynômes $T_{2n+1}$, se ``collent'' contre la fonction $f$ sur tout l'intervalle $\,[ \, {r},\, {-r} \, ] \,$, comme on le voit sur le dessin suivant. Ce type de comportement traduit une propriété de convergence uniforme qui sera vue en deuxième niveau. C'est la formule de TAYLOR-LAGRANGE qui nous a permis d'estimer globalement l'écart sur $\,[ \, {-2\pi},\, {2\pi} \, ] \,$ entre $f$ et ses polynômes de TAYLOR.

  

Exemple 2 :

Soit maintenant $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par

$$~~ h(x) = \left\{ \begin{array}{ll} e^{-1/x^2}& \ \mathrm{si}\ x \not= 0 \\ 0 & \ \mathrm{si}\ x = 0 \end{array}\right.$$

que nous regardons sur l'intervalle $\,[ \, {-2},\, {2} \, ] \,$. On démontre que cette fonction est $\mathrm{C}_{}^{\infty}$ et que toutes ses dérivées sont nulles en 0. Les polynômes de TAYLOR en 0 de la fonction $h$ sont donc tous nuls, et la suite $(T_n(x))_{n\ge0}$ ne peut donc pas converger vers $h(x)$ si $x\not=0$.

En revanche, la formule de TAYLOR-YOUNG assure que, pour $n$ fixé, il existe une fonction $\varepsilon_n$, admettant 0 comme limite en 0, et un voisinage $I_n$ de zéro tels que, pour tout $x\in I_n$,

$$~~ h(x) = x^n \varepsilon_n(x) \ .$$

Autrement dit, sur un certain intervalle, qui existe, mais que l'on ne connaît pas explicitement, la fonction $h$ sera graphiquement indiscernable de la fonction nulle. La formule de TAYLOR-YOUNG permet d'obtenir le comportement local de la fonction $h$ au voisinage de 0.

Pour terminer, donnons une application de la formule de TAYLOR-YOUNG dans l'étude des extrema d'une fonction.

Soient $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$, et $a$ un point de $I$, tel que $f'(a)=0$. Alors

si $f''(a)>0$, la fonction $f$ possède un minimum local en $a$,

si $f''(a)<0$, la fonction $f$ possède un maximum local en $a$.

• En écrivant la formule de TAYLOR-YOUNG à l'ordre 2 en $a$, et puisque $f'(a)=0$, on obtient
  $$~~ f(x) = f(a) + \frac{(x-a)^2}{2}\,f''(a) + (x-a)^2\varepsilon(x) \ ,$$
  où $\varepsilon$ est une fonction de $I$ dans $\mathbb{R}$ de limite nulle en $a$. Alors si $f''(a)$ n'est pas nul
  $$~~ f(x)-f(a) \underset{a}{\sim} \frac{(x-a)^2}{2}\,f''(a) \ ,$$
  et, dans un voisinage de $a$, la différence $f(x)-f(a)$ possède le même signe que $f''(a)$.
  

  Alors si $f''(a)>0$, on a, dans un voisinage de $a$, l'inégalité $f(x) > f(a)$, et $f$ possède un minimum local en $a$, et si $f''(a)<0$, on a, dans un voisinage de $a$, l'inégalité $f(x) < f(a)$, et $f$ possède un maximum local en $a$.$\Box$

  

7. Suites du type $u_{n+1} = f(u_n)$

7.1. Définitions

Donnons tout d'abord quelques définitions pour fixer le cadre du problème.

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ non vide et non réduit à un point, et $f$ une application de $I$ dans $\mathbb{R}$ telle que $f(I) \subset I$. On dit dans ce cas que $I$ est stable par $f$.

Si $I$ est stable par $f$, il se peut qu'il existe un point $a$ de $I$ tel que $f(a)=a$. Un tel point est appelé point fixe de $f$ dans $I$.

Si $I$ est stable par $f$, et si $\alpha$ est un point de $I$, on peut définir une suite $u=(u_n)_{n\ge 0}$ de points de $I$ par les relations

$$\begin{array}{ll} (\mathrm{i}) & u_0 = \alpha \\ (\mathrm{ii}) & \forall n \in \mathbb{N}, \ u_{n+1} = f(u_n)\ \\ \end{array}$$

Essentiellement, on veut savoir si cette suite est convergente ou non, et, si oui, quelle est sa limite.

On peut déjà faire la remarque suivante :

si l'on ajoute les hypothèses que $f$ est continue, et que $I$ est un intervalle fermé, alors si la suite $u$ converge sa limite est un point fixe de $f$ dans $I$.

• En effet, si $(u_n)$ converge vers $\ell$, puisque $I$ est fermé, le nombre $\ell$ appartient à $I$, et puisque $f$ est continue, $(f(u_n))$ converge vers $f(\ell)$. Alors par unicité de la limite $f(\ell)=\ell$. $\Box$

  

7.2. Influence de la monotonie de $f$.

Si $f$ est croissante sur $I$, la suite $u$ est monotone. Plus précisément :

$$\begin{array}{lll} (\mathrm{i}) & \mathrm{si}\ u_1 \ge u_0 & \ u ... ...athrm{si}\ u_1 \le u_0 & \ u \mathrm{\ est\ d\acute{e}croisssante} \end{array}$$

• Cela résulte immédiatement du fait que, si $f$ est croissante, les quantités $f(u_{n+1})-f(u_n)$ et $u_{n+1}- u_n$ ont, pour tout entier $n$ naturel, le même signe qui est celui de $u_1-u_0$. $\Box$

  

Si $f$ est décroissante sur $I$, la fonction $f\circ f$ est croissante sur $I$, donc les suites extraites $x$ et $y$ de $u$ définies par $x_n = u_{2n}$ et $y_n = u_{2n+1}$ sont monotones. Les suites varient en sens contraire et leur sens de variation dépend du signe de $u_2-u_0$ :

(i)

si $u_2 \ge u_0$ la suite $x$ est croissante et $y$ est décroissante.

(ii)

si $u_2 \le u_0$ la suite $x$ est décroissante et $y$ est croissante.

• Si $g = f\circ f$, on a alors $x_{n+1} = g(x_n)$ et $y_{n+1} = g(y_n)$ Donc le sens de variation de $x$ dépend du signe de $x_1-x_0 = u_{2} - u_{0}$, et de celui de $y$ de $y_1-y_0 = u_{3} - u_{1}$. Mais, puisque $f$ est décroissante, $u_3 - u_1 = f(u_2)-f(u_0)$ a le signe opposé de celui de $u_2-u_0$. $\Box$

  

Pour conclure dans le cas où $f$ est décroissante, on utilise alors le fait que $u$ converge si et seulement si $x$ et $y$ sont convergentes et de même limite.

  

7.3. Théorème du point fixe

Nous allons nous placer dans le cadre des fonctions contractantes.

Rappelons qu'une fonction $f$ est contractante de rapport $k$ sur $I$, si et seulement si il existe un nombre réel $k \in \,[ \, {0},\, {1} \, [ \,$, tel que

$$~~ (\forall(x,y) \in I^2)\ (\vert f(x)-f(y)\vert \le k\,\vert x-y\vert) \ .$$

Nous avons vu qu'une telle fonction est alors uniformément continue, donc continue, sur $I$.

On en déduit facilement par récurrence que si l'on désigne par $f^n$ la composée $f\circ f \circ \cdots \circ f$ de $n$ fonctions $f$, cette fonction est contractante de rapport $k^n$.

Nous pouvons alors obtenir le résultat suivant :

Théorème du point fixe

Supposons $I$ fermé, $f$ contractante sur $I$ et $I$ stable par $f$. Alors $f$ admet un point fixe $a\in I$ et un seul, et, quelle que soit la condition initiale $\alpha$, la suite $u$ définie par $u_0=\alpha$, et la relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$, converge vers ce point fixe. De plus, on a, les trois inégalités suivantes :

(i)

$(\forall n \in \mathbb{N})\ (\vert u_n - a\vert \le k^n\vert u_0-a\vert) \vphantom{\displaystyle \frac{k^n}{1-k}\,\vert u_1-u_0\vert}$

(ii)

$(\forall n \in \mathbb{N})\ \left(\vert u_n - a\vert \le \displaystyle \frac{k^n}{1-k}\,\vert u_1-u_0\vert\right)$

(iii)

$(\forall n \in \mathbb{N}^*)\ \left(\vert u_n - a\vert \le \displaystyle \frac{k}{1-k}\,\vert u_n-u_{n-1}\vert\right) \ .$

• Remarquons pour commencer que, quels que soient les entiers $k$ et $n$ tels que $0 \le k \le n$, on peut écrire $u_n = f^k(u_{n-k})$ (avec la convention : $f^0 = \mathop{\mathrm{Id}}\nolimits _I$).
  

  Soient $a$ et $b$ deux points fixes de $f$. Alors

  $$~~ \vert a-b\vert = \vert f(a) - f(b)\vert \le k \vert a-b\vert \ ,$$
  et ceci n'est possible que si $\vert a-b\vert$ est nul. Donc $f$ possède au plus un point fixe.
  

  Pour montrer que la suite $u$ a une limite, nous allons montrer que c'est une suite de Cauchy. Pour cela majorons $\vert u_{n+p}-u_n\vert$. On part de l'égalité

  $$~~ u_{n+p} - u_n = (u_{n+p} - u_{n+p-1}) + (u_{n+p-1} - u_{n+p-2})+ \cdots +(u_{n+1} - u_n) \ ,$$
  que l'on peut encore écrire, si $r$ est un entier tel que $1 \le r \le n+1$
  

  $$u_{n+p} - u_n = (f^{n+p-r}(u_r) - f^{n+p-r}(u_{r-1})) + (f^{n+p-r-1}(u_r) - f^{n+p-r-1}(u_{r-1}))+ \cdots$$

  $$\hspace{6cm} \cdots+ (f^{n-r+1}(u_r) - f^{n-r+1}(u_{r-1})) \ .$$

  
  

  En utilisant l'inégalité triangulaire, on en déduit
  

  $$\vert u_{n+p} - u_n\vert \le \vert f^{n+p-r}(u_r) - f^{n+p-r}(u_{r-1})\vert + \vert f^{n+p-r-1}(u_r) - f^{n+p-r-1}(u_{r-1})\vert+ \cdots$$

  $$\hspace{6cm} \cdots+ \vert f^{n-r+1}(u_r) - f^{n-r+1}(u_{r-1})\vert \ ,$$

  
  

  puis en utilisant le fait que $f^s$ est contractante de rapport $k^s$,

  $$~~ \vert u_{n+p} - u_n\vert \le k^{n+p-r}\vert u_r-u_{r-1}\vert + k^{n+p-r-1}\vert u_r-u_{r-1}\vert+ \cdots + k^{n-r+1} \vert u_r-u_{r-1}\vert \ .$$
  Mais on reconnaît dans le membre de droite la somme des termes d'une suite géométrique :
  $$~~ k^{n+p-r}+ k^{n+p-r-1}+ \cdots + k^{n-r+1} = k^{n-r+1} ( k^{p-1}+ k^{p-2}+ \cdots + 1) = k^{n-r+1} \, \frac{1-k^p}{1-k} \ ,$$
  qui se majore, puisque $0 \le k <1$, par $$\frac{k^{n-r+1}}{1-k}$$.
  

  On en déduit donc l'inégalité

  $$(\mathcal{E})\quad \vert u_{n+p} - u_n\vert \le \frac{k^{n-r+1}}{1-k}\, \vert u_r-u_{r-1}\vert \ .$$

  On prend tout d'abord $r=1$. L'inégalité $(\mathcal{E)}$ donne alors

  $$~~\quad \vert u_{n+p} - u_n\vert \le \frac{k^{n}}{1-k}\, \vert u_1-u_0\vert \ .$$

  Si l'on pose,

  $$~~ v_n = \frac{k^n}{1-k}\, \vert u_1-u_0\vert \,$$
  on définit une suite $v$ admettant comme limite 0, puisque $0 \le k <1$. Soit alors $\varepsilon >0$. Il existe un entier naturel $q$, tel que, si $n \ge q$, on ait $v_n < \varepsilon$. On en déduit que, pour tout $p \in \mathbb{N}$ et tout $n \ge q$,
  $$~~ \vert u_{n+p} - u_n\vert < \varepsilon \ .$$
  La suite $u$ est bien une suite de Cauchy. Elle converge donc. Notons $a$ sa limite. C'est un point fixe de $f$, puisque $f$ est continue, et c'est le seul.
  

  L'inégalité (i) s'obtient en utilisant le fait que $f^n$ est contractante de rapport $k^n$ et que $a$ est un point fixe de $f^n$. En effet

  $$~~ \vert u_n - a\vert = \vert f^n(u_0) - f^n(a)\vert \le k^n \vert u_0-a\vert \ .$$

  Pour l'inégalité (ii), on utilise de nouveau l'inégalité $(\mathcal{E})$ dans le cas où $r=1$.

  $$~~ \vert u_{n+p} - u_n\vert \le \frac{k^n}{1-k}\, \vert u_1-u_0\vert \ .$$
  Si $n$ est fixé, la suite $(u_{n+p} - u_n)_{p \ge 0}$ converge vers $a - u_n$, et donc, par passage à la limite dans les inégalités
  $$~~ \vert a - u_n\vert \le \frac{k^n}{1-k}\, \vert u_1-u_0\vert \ .$$

  Pour l'inégalité (iii), on utilise l'inégalité $(\mathcal{E})$ avec $r=n$

  $$~~ \vert u_{n+p} - u_n\vert \le \frac{k}{1-k}\, \vert u_n-u_{n-1}\vert \ ,$$
  et l'on termine comme dans (ii). $\Box$

  

Le théorème précédent donne une méthode (appelée méthode des approximations successives) qui permet de calculer de manière approchée la solution $a$ d'une équation du type $f(x)=x$, où $f$ est contractante sur un intervalle fermé stable $I$. Les inégalités données permettent de contrôler l'erreur commise en remplaçant la solution $a$ par le terme $u_n$ .

La deuxième inégalité permet de déterminer a priori un rang qu'il suffira de calculer pour obtenir une erreur inférieure à une valeur $\varepsilon$ donnée. Il suffit de déterminer $n$ pour que

$$~~ \frac{k^n}{1-k}\,\vert u_1-u_0\vert < \varepsilon \ .$$

La première inégalité est moins utile à cet égard, sauf si l'intervalle $I$ est un segment $\,[ \, {\lambda},\, {\mu} \, ] \,$ puisque l'on peut alors majorer $\vert u_0-a\vert$ que l'on ne connaît pas, par $\mu - \lambda$. De toute façon, on peut obtenir une valeur de $n$ nettement plus grande que ce qui est nécessaire, et sur le plan des calculs numériques, la troisième inégalité sera plus intéressante de ce point de vue, puisque, chaque fois que l'on aura calculé un terme $u_n$ de la suite, il suffira de comparer $$\frac{k}{1-k}\,\vert u_n-u_{n-1}\vert$$ à $\varepsilon$, et d'arrêter le calcul lorsque l'on aura,

$$~~ \frac{k}{1-k}\,\vert u_n-u_{n-1}\vert < \varepsilon \ .$$

Cette technique suppose donc que l'on sache trouver un rapport de contraction $k$. Un moyen très simple pour déterminer si une fonction $f$, dérivable sur $I$, est contractante est donné par le résultat suivant :

Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$. Elle est contractante si et seulement si il existe un nombre réel $k \in \,[ \, {0},\, {1} \, [ \,$, tel que,

$$~~ (\forall t \in I) \ (\vert f'(t)\vert \le k ) \ .$$

• Si $f$ est contractante sur $I$, soit $t$ dans $I$. Alors si $h$ est non nul, et si $t+h$ appartient à $I$,
  $$~~ \vert f(t+h) - f(t)\vert \le k \vert h\vert \ ,$$
  d'où
  $$~~ \left\vert\frac{f(t+h)-f(t)}{h}\right\vert \le k \ .$$
  Lorsque $h$ tend vers zéro, on obtient par conservation des inégalités
  $$~~ \vert f'(t)\vert \le k \ .$$

  Inversement, supposons que cette dernière inégalité ait lieu pour tout $t$ de $I$, il résulte de l'inégalité des accroissements finis que, quels que soient $x$ et $y$ dans $I$,

  $$~~ \vert f(x) - f(y)\vert \le k\, \vert x-y\vert \ .$$
  $\Box$