PRACTICAL TOOLS TO SOLVE INDEFINITE PROBLEMS Patrick Ciarlet Laboratoire POEMS, UMR 7231 CNRS/ENSTA/INRIA ENSTA ParisTech 32, boulevard Victor, 75739 Paris Cedex 15 France Abstract: To solve variational problems, a celebrated tool is the Banach-Necas-Babuska theory, which relies on the inf-sup condition. We choose an equivalent approach, T-coercivity, which is based on explicit inf-sup operators, both at the continuous and discrete levels. First, it is applied to Helmholtz-like problems involving "classical" materials in acoustics and electromagnetics. We provide simple proofs to solve the exact and discrete problems, and to show convergence, under fairly general assumptions. Second, it is applied to an interface, Helmholtz-like problem, between a "classical" material and a metamaterial. In this case, the constitutive parameters exhibit a sign-shift at the crossing of the interface. This raises new difficulties to solve the continuous and discrete problems, which have to be addressed. ---------- OUTILS PRATIQUES POUR RESOUDRE DES PROBLEMES INDEFINIS Patrick Ciarlet Laboratoire POEMS, UMR 7231 CNRS/ENSTA/INRIA ENSTA ParisTech 32, boulevard Victor, 75739 Paris Cedex 15 France Résumé : pour résoudre des problèmes variationnels, un outil de choix est la théorie de Banach-Necas-Babuska, basée sur la condition inf-sup. Nous choisissons une approche équivalent, qui repose sur des opérateurs inf-sup explicites, aux niveaux continu et discret. Tout d'abord, nous appliquons cette théorie à l'étude de problèmes de type Helmholtz en acoustique et en électromagnétisme, dans des matériaux "classiques". Nous proposons des démonstrations simples pour résoudre les problèmes exact et approché, et pour retrouver des résultats de convergence, sous des hypothèses générales. Ensuite, nous l'appliquons à un problème de type Helmholtz avec une interface entre un matériau "classique" et un méta-matériau. Dans cette configuration, les paramètres constitutifs changent de signe au franchissement de l'interface, ce qui induit des difficultés supplémentaires pour résoudre les problèmes exact et approché.