\documentclass[12pt]{article}
\input{InputL1-2010.tex}
\vskip1cm
\bc
{\large Liste d'exercices n$^{\circ}$9}
\ec
\vskip0,5cm

\be
\item 
Soient les 4 matrices

$$A=\left(\begin{array}{c}
1\\
2\\
0\\
-3\end{array}\right)\ ,\ \ B=\left(\begin{array}{cccc}
1&-1&3&-2\end{array}\right)\ ,\ \ C=\left(\begin{array}{ccc}
1 &-2& 3\\
4 & 5 & -6\\
1 & 0 & -1\\
2& 3 &-4\end{array}\right)\ ,\ \ D=\left(\begin{array}{cccc}
1 &0 & -1& 0\\
2 & -2 & 3 & -3\\
-1 & 2 & -1 & 2\end{array}\right)\ .$$
Quels sont les produits 2 à 2 qui ont un sens ? Effectuer ces produits.\\
  



\item  Soient les 3 matrices

$$A=\left(\begin{array}{cc}
5& 4\\
 3& -1\end{array}\right)\ ,\ \ B=\left(\begin{array}{cc}
3& -2\\
 -9& 6\end{array}\right)\ ,\ \ C=\left(\begin{array}{cc}
1& 1\\
 1& -1\end{array}\right)\ .$$
 
 Dire lesquelles sont inversibles et calculer leur inverse lorsqu'il
 existe. Trouver une matrice $M$ telle que $AM=B$. Trouver une matrice $N$
 telle que $NC=B$. Dans les deux cas, y a-t-il unicité ? Peut-on trouver
 une matrice $P$ telle que $BP=C$ ?\\
 
 
 \item Soit $A$ la matrice carr{\'e}e d'ordre $2$ donn{\'e}e par
\begin{displaymath}
A = 
\left(\begin{array}{cc}
0 & 2\\
-1 & 3
\end{array}
\right)
\end{displaymath}

\begin{enumerate} 
\item Calculer $A^2$ directement.
\vskip0,25cm
\item On d{\'e}signe par $I_2$ la matrice identit{\'e}. D{\'e}terminer les r{\'e}els
$a$ et $b$ tels que :
$$A^2 + a\, A + b\, I_2$$
soit la matrice nulle.
\vskip0,25cm
\item D{\'e}terminer le polyn{\^o}me caract{\'e}ristique $Q_A$ de $A$ et ses racines.
\item Soit $n\in\N^\star$. Calculer le reste de la division euclidienne du polynôme 
$P(X)=X^n$ par $Q_A (X)$ (sans effectuer la division).
\item En utilisant les questions pr{\'e}c{\'e}dentes, d{\'e}terminer, pour tout
entier $n\in \mathbb N^\star$, la matrice $A^n$.
\ee
 

\item 
\be
\item  Soit la matrice $A=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1\\
-1 & 1\end{array}\right)$. Déterminer le plus petit entier $n\geq 1$ tel que $A^n$ est un multiple de $I_2$ en calculant $A^n$.

\item  Soient $\theta\in\R$. On considère la matrice $B_\theta=\left(\begin{array}{cc}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta\end{array}\right)$. Calculer $B_\theta^2$. Conjecturer puis montrer (par exemple par récurrence) une formule simple pour $B_\theta^n$, $n\geq 1$. Quel est le rapport avec la question (a) ?

Montrer aussi que $B_\theta$ est inversible et calculer son inverse.\\
\ee

 

 \item On considère la suite $(u_n)_{n\in\N}$ définie par $u_0=1$, $u_1=2$ et
$\displaystyle u_{n+1}=\frac{u_{n}+u_{n-1}}{2}$ si $n\geq 1$. Calculer $u_n$ pour tout $n\in\N$ et la 
limite de la suite $(u_n)_{n\in\N}$.\\




\item  Donner des conditions nécessaires et suffisantes sur $t\in\R$ pour que toute suite de nombres réels $(u_n)_{n\in\N}$ vérifiant $u_{n+1}=u_n+t u_{n-1}$ ait 0 pour limite.\\



 \item Soit $(u_n)_{n\in\N}$ une suite de nombres réels qui vérifie $u_{n+1}+2 u_n+u_{n-1}=0$. A quelle condition sur $u_0$ et $u_1$ cette suite est-elle bornée ? Existe-t-il des couples $(u_0,u_1)$ pour lesquels cette suite admet une limite ?\\





\item  Calculer l'exponentielle des matrices suivantes :

$$A=\left(\begin{array}{cc}
-1&2\\
2&2\end{array}\right)\ ,\ \ B=\left(\begin{array}{cc}
-2&-1\\
1&-4\end{array}\right)\ .$$


\ee
\bigskip
\bc
{\large\sl Exercices d'approfondissement (facultatifs)}
\ec
\vskip0,5cm
\be

\item  Quelles sont les matrices (2,2) $A$ telles que $AM=MA$ dans les cas suivants :
$$M=\left(\begin{array}{cc}
1&0\\
0&0\end{array}\right)\ ,\ \ M=\left(\begin{array}{cc}
0&1\\
0&0\end{array}\right)\ ,\ \ M=\left(\begin{array}{cc}
1&1\\
0&1\end{array}\right)\ ,\ \ M=\left(\begin{array}{cc}
0&1\\
-1&0\end{array}\right)\ .$$ 

Dans chacun des cas, peut-on toujours trouver $\lambda$ et $\mu$ tels que $A=\lambda M+\mu I_2$ ?

Est-ce vrai pour toute matrice $M$ ?\\




\item  Exercice (subsidiaire) calculatoire... 

Soit $A=\left(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d\end{array}\right)$ une matrice carrée d'ordre 2 à coefficients réels. On définit sa {\it trace} notée ${\rm Tr}\,A$ par ${\rm Tr}\,A=a+d$ (somme des coefficients {\it diagonaux}). Montrer que ${\rm det}(\exp A)=\exp({\rm Tr}\, A)$. En déduire que l'exponentielle d'une matrice d'ordre 2 est toujours inversible.\\

{\bf Indications} : si le polynôme caractéristique $Q$ de $A$ a deux racines distinctes $\alpha$ et $\beta$, écrire ${\rm det}(\exp A)=\lambda e^{2\alpha} + \mu e^{2\beta} + \nu e^{\alpha+\beta}$ où $\lambda,\mu$ et $\nu$ s'écrivent en fonction des coefficients de $A$, et de $\alpha$ et $\beta$. Puis remarquer que $\lambda=\mu=0$ en utilisant que $\alpha$ et $\beta$ sont racines de $Q$. Enfin, simplifier l'écriture de $\nu$ à l'aide des relations entre les racines d'un polynôme et ses coefficients.

Si le polynôme caractéristique a une racine double, les calculs sont plus simples (on pourra commencer par ce cas).
\ee

\end{document}

\item  {\bf Suite de Fibonacci.} Fibonacci (1170-1250) modélisa ainsi la reproduction des lapins : l'unité de base est un couple de lapins. Il estimait qu'un couple de jeunes lapins met une saison à devenir adulte, puis attend une deuxième saison de gestation, puis met au monde un couple de jeunes lapins à chaque saison suivante.

Un éleveur achète un couple de jeunes lapins à la fin de la première saison. On note $u_n$ le nombre de couples de lapins à la fin de la $n$-ième saison. On a donc $u_1=1$, $u_2=1$, $u_3=2$ etc.

En considérant que les lapins sont immortels, combien cet éleveur aura-t-il de lapins après $n$ saisons ?

Pour résoudre le problème, commencer par trouver une relation entre $u_{n+1}$, $u_n$ et $u_{n-1}$.\

La formule qui exprime $u_n$ en fonction de $n$ est attribuée à Binet (1776-1856) mais était déjà connue d'Euler (1707-1787) et D. Bernoulli (1700-1782) plus d'un siècle auparavant.\\