\documentclass[12pt]{article}
\input{InputL1-2010.tex}
\vskip 1cm





\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\N{{\mathbb N}}
\def\Arcsin {\mathop{\rm Arcsin}} 
\def\Arccos {\mathop{\rm Arccos}}
 \def\Arctg {\mathop{\rm Arctg}} 
\def\sh {\mathop{\rm sh}}
\def\ch {\mathop{\rm ch}}
\def\th {\mathop{\rm th}}
\def\tg {\mathop{\rm tg}}
\def\cotg {\mathop{\rm cotg}}
\def\Ln {\mathop{\rm Ln}}
\def\Argth {\mathop{\rm Argth}}
\def\Argsh {\mathop{\rm Argsh}}
\def\Argch {\mathop{\rm Argch}}


\bc
{\large Liste d'exercices n$^{\circ}$7}
\ec

\vskip1cm




\hskip 0.5cm Discuter et résoudre les systèmes suivants :

\medskip

\be

\item
  $$\left \{ \matrix{
x&+y& + z&  + t & = 0\cr
2x& - y& - z& + 3t & = 0 \cr
x& -2y& + 2z& -t & = 1 \cr
2x& + 2y& - 2z& + 5t& = -1
} \right . $$


\medskip


\item
$$\left \{ \matrix{
2x &+ 5y &- 8z &= 8 \cr
4x &+ 3y &-9z &= 9 \cr
2x &+ 3y&+3z &= 7 \cr
3x&+8y&-7z&=3 \cr
}\right .$$

\medskip


\item 
$$ \left \{ \matrix{
x_1& &+x_3& &+x_5&+x_6&=0 \cr
x_1& &  & & &+x_6&=0 \cr
&x_2 & &+x_4& &+2x_6 &= 0 \cr
x_1&+x_2 & & &+x_5&+2x_6&=0 \cr
x_1&+x_2&+x_3&+x_4&+x_5&+3x_6&=0 \cr
}\right .$$

\medskip

Touver des conditions nécessaires et suffisantes sur les paramètres $
u,v,w,t$ pour que les systèmes
suivants admettent des solutions, puis les résoudre :

\medskip

\item
$$\left \{\matrix{
x&+3y&+6z&= u \cr
3x&+y&+3z&=v \cr
6x&+6y&+z&=w \cr
7x&+9y&+7z&=t \cr
}\right .$$

\medskip

\item
$$\left \{\matrix{
3x&-y&-2z&= u \cr
-x&+3y&-z&=v \cr
-2x&-2y&+3z&=w \cr
x&-3y&+z&=t \cr
}\right .$$

\medskip

\item
$$\left \{ \matrix{
2x& +y&+ 2z &= u \cr
x& +2y&+z &=v \cr
x& +y&+z &=w \cr
4x& +3y&+4z &=t \cr
}\right .$$

\medskip

\item
Soit $P\in\R_2[X]$ un polynôme. Est-il possible d'écrire $P$ comme combinaison linéaire des polynômes $ 1, (1+X)^2$ et  $(1-X)^2$ ? L'écriture est-elle unique ?

\medskip

\item\be
\item On pose $j= e^{\frac{2 i \pi}{3}}$. Montrer que $1+j+j^2=0$~.

\item Trouver une condition nécessaire et suffisante sur les paramètres $a, b\in \C$ pour que le système suivant d'inconnue $(x, y, z)\in \mathbb C^3$ admette des solutions, puis le résoudre

$$
\left\{\begin{array}{cccccccc}
x &- &y &- &z &=& 0&\\
x &+ &j y &+ &j^2 z &=& a&\\
  &  &j^2 y &+ &j z &=& b &\ .
\end{array}\right. %\}
$$
\ee
\ee
\end{document}