\def\Arcsin {\mathop{\rm Arcsin}} 
\def\Arccos {\mathop{\rm Arccos}}
 \def\Arctg {\mathop{\rm Arctg}} 
\documentclass[12pt]{article}
\input{InputL1-2010.tex}
\vskip 1cm


\def\sh {\mathop{\rm sh}}
\def\ch {\mathop{\rm ch}}
\def\th {\mathop{\rm th}}
\def\tg {\mathop{\rm tg}}
\def\cotg {\mathop{\rm cotg}}
\def\Ln {\mathop{\rm Ln}}
\def\Argth {\mathop{\rm Argth}}
\def\Argsh {\mathop{\rm Argsh}}
\def\Argch {\mathop{\rm Argch}}
%\newcommand{\nc}{\newcommand} 
%\nc{\op}[1]{\mathop{\mathsf{#1}}\nolimits}
%\nc{\aeq}{\begin{equation}}\nc{\zeq}{\end{equation}}
%\nc{\mb}{\mathbb}
%\nc{\mc}{\mathcal}
%\nc{\bb}{\bigskip}
%\nc{\cl}{\centerline} 
%\nc{\ind}{\hskip 1em\relax}
%\def\R{{\mathbb R}}
%\def\C{{\mathbb C}}
%\def\N{{\mathbb N}}
%\vskip0,25cm
\bc
{\large TD n$^{\circ}$6 : \'Equations diff\'erentielles.}
\ec

\vskip1cm

\section{\'Equations d'ordre 1.}
\be
\item Résoudre chacune des équations différentielles suivantes :
\be
 \item $y'+y/t=0.$\
 
\item $y'+(\sin{t})y =0.$\

\item $y'+y = \frac{1}{1+e^t}.$\\

\ee

\item Résoudre les problèmes de Cauchy suivants :\\
 $y'+y= \frac{1}{1+e^t}+t$  ; \quad $y(0)=1$.\\
 $y'+\frac{\cos^2{t}}{\ch{t}}e^t y= 0$  ; \quad  $y(1)=0$.\\
 

\item Résoudre chacune des équations différentielles suivantes :
\be
 \item $y'-3y=2.$\
 
\item $y'+2y =e^{2t}.$\

\item $y'-5y = e^{5t}.$\

\item $y'+3t^2y=t^2.$\

\item $y'-y= \sin t.$\

\item $(1+t^2)y'-ty=1+t+t^2\,.$\\
\ee

\item  On considère l'équation différentielle 
$$ (1-t^2)y'-2ty=1\quad .\leqno(E)$$

\be
 \item Résoudre sur $]-1,+1[ $ l'équation différentielle $(E)$.\
\item  Déterminer la solution qui pour $t=0$ prend la valeur $1$.\
\item  Résoudre $(E)$ sur $ ]-\infty, -1[$.\\
%\item  Que se passe-t-il près du point $t=-1$ ?\\
\ee

\item Résoudre les équations différentielles suivantes, en précisant
soigneusement l'intervalle de résolution :
\be
 \item $(\cos t)\, y'-(\sin t)\, y+\cos t=0\, .$\\
\item $ y'+ ({\rm tg}\, t)\, y = \sin t\, .$\\
 \item $ t^3 y'+4(1-t^2)y=0\, .$\\
 \item $ y'+ ({\rm tg}\, t)\,y = \cos t\, .$\\
\item $ ({\rm tg}\, t)\,  y'+y-\sin t = 0\, .$\\
\ee
\ee

\section{\'Equations du second ordre.}
\be
\item 
Résoudre les équations différentielles suivantes :
\be
\item $ y''-5y'+6y=0.$\\
 \item $y''-3y'=0.$\\
\item $y''-2y'+2y=0\ .$\\
\ee

\item  Résoudre les équations différentielles suivantes :
\be
\item $ y''+2y'-8y = e^{3t}\,.$\\
\item $y''-3y'-18y = te^{4t}.$\\
\item $y''-10 y'+41 y = \sin t.$\\
\item $y''-y'=t+1.$\\
\item $y''-2y'+5y=t\cos 2t.$\\
\item $y''-6y'+9y=4e^{3t}.$\\
\item $y''-2y'+2y=te^t\sin t+3.$\\
\ee

\item  Résoudre les équations différentielles suivantes :
\be
\item $y''-3y'+2y={e^{3t}\over1+e^t}\ ,\ \ y(0)=2\ ,\ \ y'(0)=-1.$\\

\item $y''+4y'+4y={e^{-2t}\over (t-1)(t+2)}\ ,\ \ t\in]-2,1[\ ,\ \ y(0)=0\ ,\ \ y'(0)=0.$\\

\ee


\ee



\end{document}