\documentclass[11pt,a4]{article}
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\pagestyle{empty}

\newtheorem{exo}{Exercice}
\newtheorem{correction}{Correction}

\begin{document}

\def\Argch{\mathop{\rm Argch}}
\def\Argsh{\mathop{\rm Argsh}}
\def\Argth{\mathop{\rm Argth}}
\def\Arccos{\mathop{\rm Arccos}}
\def\Arcsin{\mathop{\rm Arcsin}}
\def\Arctan{\mathop{\rm Arctan}}
\def\ch{\mathop{\rm ch}}
\def\sh{\mathop{\rm sh}}
\def\th{\mathop{\rm th}}
\def\tanh{\mathop{\rm th}}
\def\N{\mathop{\mathbb N}}
\def\Z{\mathop{\mathbb Z}}
\def\R{\mathop{\mathbb R}}
\def\donne{\Rightarrow}
\def\Sup{\mathop{\rm Sup}}
\def\C{\mathop{\mathbb C}}


\noindent{\large\bf Universit\'e Henri Poincar\'e\hfill Facult\'e des Sciences et Technologies}

\noindent{\sl {Licences Math\'ematiques, SPI et Informatique  \hfill Automne 2010}}
\vspace{0.5cm}
\begin{center}
{\Large Liste d'exercices n$^{\circ}$4: Fractions rationnelles}
\end{center}

\vskip0,5cm





\begin{exo}
D\'ecomposer les fractions rationnelles suivantes sur $\C$ puis sur $\R$\\
$$\frac{3}{X^3 +1} ,  \ \ \ \ \frac{1}{X^{2n} +1}.$$
\end{exo}


\begin{exo}
D\'ecomposer sur $\R$ les fractions rationnelles suivantes:
$$\frac{2X^3 +X^2-X+1}{X^2 - 2X+1}, \ \ \ \frac{3X^5 + 2X^4 +X^2 +3X+2}{X^4 + 1}$$
$$\frac{X+5}{9X^2+6X+17},\ \ \ \frac{3X^5 -4X^4 +4X^3 -10X^2 -8}{(X^2-2X+1)(X^2+X+1)}.$$
\end{exo}


\begin{exo}
D\'ecomposer sur $\R$ et sur $\C$ les fractions rationnelles:
$$\frac{X}{X^4 +1},\ \ \ \ \frac{X^5 + X + 1}{X^4-1}.$$
$$\frac{X^3 -2}{X^4 (X^2 +X +1)^2},\ \ \ \ \frac{X^2-3}{(X^2+1)(X^2+4)}.$$
\end{exo}

\begin{exo}
D\'ecomposer en \'el\'ements simples les fractions rationnelles suivantes :
$${5X-12\over {X(X-4)}}\ ,\ {37-11X \over
{(X+1)(X-2)(X-3)}}\ ,\ {6X-11\over {(X-1)^2}}\ ,$$
$$\ {-19X^2+50X-25\over {X^2(3X-5)}}\ , \ {2X^2-15X+33\over {(X+1)(X-5)}}.$$
\end{exo}       





\begin{exo}
\begin{enumerate}
  \item
  D\'ecomposer 
$\frac{X^3-3X^2+X-4}{X-1}$
en \'el\'ements simples sur $\mathbb{R}$.
   \item D\'ecomposer 
$\frac{2X^3+X^2-X+1}{X^2-3X+2}$
en \'el\'ements simples sur $\mathbb{R}$.
  \item
 D\'ecomposer 
$\frac{2X^3+X^2-X+1}{X^2-2X+1}$
en \'el\'ements simples sur $\mathbb{R}$.
 \item
D\'ecomposer 
$\frac{X^4+2X^2+1}{X^2-1}$
en \'el\'ements simples sur $\mathbb{R}$.
 \item D\'ecomposer 
$\frac{X}{X^2-4}$
en \'el\'ements simples sur $\mathbb{R}$.
  \item D\'ecomposer 
$\frac{X^5+X^4+1}{X^3-X}$
en \'el\'ements simples sur $\mathbb{R}$.
 \item D\'ecomposer 
$\frac{X^5+X^4+1}{X(X-1)^4}$
en \'el\'ements simples sur $\mathbb{R}$.
  \item D\'ecomposer 
$\frac{X^5+X^4+1}{(X-1)^3(X+1)^2}$
en \'el\'ements simples sur $\mathbb{R}$.
 \item  D\'ecomposer 
$\frac{X^7+3}{(X^2+X+2)^3}$
en \'el\'ements simples sur $\mathbb{R}$.
 \item D\'ecomposer 
$\frac{(3-2 i )X-5+3 i }{X^2+ i  X+2}$
en \'el\'ements simples sur $\mathbb{C}$.
 \item D\'ecomposer 
$\frac{X+ i }{X^2+ i }$
en \'el\'ements simples sur $\mathbb{C}$.
 \item D\'ecomposer 
$\frac{X}{(X+ i )^2}$
en \'el\'ements simples sur $\mathbb{C}$.
 \item D\'ecomposer $\frac{X^2+1}{X^4+1}$ en \'el\'ements simples sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathbb{C}$.
\item  D\'ecomposer 
$\frac{X}{X^4+1}$
en \'el\'ements simples sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathbb{C}$.
\item  D\'ecomposer 
$\frac{X^2+X+1}{X^4+1}$
en \'el\'ements simples sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathbb{C}$.
\item  D\'ecomposer 
$\frac{X^5+X+1}{X^4-1}$
en \'el\'ements simples sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathbb{C}$.
\item  D\'ecomposer 
$\frac{X^5+X+1}{X^6-1}$
en \'el\'ements simples sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathbb{C}$.
\item  D\'ecomposer 
$\frac{X^3-2}{X^4(X^2+X+1)^2}$
en \'el\'ements simples sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathbb{C}$.
 \item D\'ecomposer 
$\frac{X}{(X^2+1)(X^2+4)}$
en \'el\'ements simples sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathbb{C}$.
 \item D\'ecomposer 
$\frac{X^2-3}{(X^2+1)(X^2+4)}$
en \'el\'ements simples sur $\mathbb{R}$ et sur $\mathbb{C}$.
\end{enumerate}



\begin{correction} 
\begin{enumerate}
  \item
$\frac{X^3-3X^2+X-4}{X-1} = 
X^2-2X-1-\frac{5}{X-1}$.
  \item
$\frac{2X^3+X^2-X+1}{X^2-3X+2} = 
2X+7-\frac{3}{X-1}+\frac{19}{X-2}$.
  \item
$\frac{2X^3+X^2-X+1}{X^2-2X+1} =
2X+5+\frac{3}{(X-1)^2}+\frac{7}{X-1}$.
  \item
$\frac{X^4+2X^2+1}{X^2-1} = 
X^2+3+\frac{2}{X-1}-\frac{2}{X+1}$.
  \item
$\frac{X}{X^2-4} = 
\frac{1/2}{X+2} + \frac{1/2}{X-2}$.
  \item
$\frac{X^5+X^4+1}{X^3-X} = 
X^2+X+1-\frac{1}{X}+\frac{1/2}{X+1}+\frac{3/2}{X-1}$.
  \item
$\frac{X^5+X^4+1}{X(X-1)^4} = 
1 + \frac{1}{X} + \frac{3}{(X-1)^4} + \frac{6}{(X-1)^3} + 
\frac{10}{(X-1)^2} + \frac{4}{X-1}$.
  \item
$\frac{X^5+X^4+1}{(X-1)^3(X+1)^2} = 
1 + \frac{3/4}{(X-1)^3} + \frac{3/2}{(X-1)^2} + \frac{37/16}{X-1} - 
\frac{1/8}{(X+1)^2} -\frac{5/16}{X+1}$.
  \item
$\frac{X^7+3}{(X^2+X+2)^3} = 
X-3 + \frac{7X+13}{(X^2+X+2)^3} - \frac{7X+21}{(X^2+X+2)^2} + 
\frac{14}{X^2+X+2}$.
  \item
$\frac{(3-2 i )X-5+3 i }{X^2+ i  X+2} = 
\frac{2+ i }{X- i }+\frac{1-3 i }{X+2 i }$.
  \item
$\frac{X+ i }{X^2+ i } = 
\frac{\frac{-\sqrt2+2}{4}+\frac{\sqrt2}{4} i }{X-\frac{\sqrt2-\sqrt2 i }{2}} +
\frac{\frac{\sqrt2+2}{4}-\frac{\sqrt2}{4} i }{X-\frac{-\sqrt2+\sqrt2 i }{2}}$.
  \item
$\frac{X}{(X+ i )^2} = 
\frac{1}{X+ i }-\frac{ i }{(X+ i )^2}$.
  \item
$\frac{X^2+1}{X^4+1} = 
\frac{1/2}{X^2+\sqrt{2}X+1} + \frac{1/2}{X^2-\sqrt{2}X+1} =  
\frac{-\frac{\sqrt{2}}{4} i }{X-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} i } + 
\frac{ \frac{\sqrt{2}}{4} i }{X-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i } + 
\frac{ \frac{\sqrt{2}}{4} i }{X+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i } + 
\frac{-\frac{\sqrt{2}}{4} i }{X+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} i }$.
  \item
$\frac{X}{X^4+1} = 
- \frac{\sqrt{2}/4}{X^2+\sqrt{2}X+1} + \frac{\sqrt{2}/4}{X^2-\sqrt{2}X+1} = 
\frac{-\frac{1}{4} i }{X-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} i } + 
\frac{ \frac{1}{4} i }{X-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i } + 
\frac{-\frac{1}{4} i }{X+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i } + 
\frac{ \frac{1}{4} i }{X+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} i }$.
  \item
$\frac{X^2+X+1}{X^4+1} = 
\frac{(2-\sqrt{2})/4}{X^2+\sqrt{2}X+1} + 
\frac{(2+\sqrt{2})/4}{X^2-\sqrt{2}X+1} = 
\frac{-\frac{1+\sqrt{2}}{4} i }{X-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} i } + 
\frac{ \frac{1+\sqrt{2}}{4} i }{X-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i } + 
\frac{-\frac{1-\sqrt{2}}{4} i }{X+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2} i } + 
\frac{ \frac{1-\sqrt{2}}{4} i }{X+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} i }$.
  \item
$\frac{X^5+X+1}{X^4-1} = 
X + \frac{3/4}{X-1} + \frac{1/4}{X+1} - \frac{X+\frac{1}{2}}{X^2+1} = 
X + \frac{3/4}{X-1} + \frac{1/4}{X+1} + 
\frac{-\frac{1}{2}+\frac{1}{4} i }{X- i } + 
\frac{-\frac{1}{2}-\frac{1}{4} i }{X+ i }$.
  \item
$\frac{X^5+X+1}{X^6-1} = 
\frac{1/2}{X-1} + \frac{1/6}{X+1} + \frac{\frac{1}{3}X-\frac{2}{3}}{X^2-X+1} = 
\frac{1/2}{X-1} + \frac{1/6}{X+1} - 
\frac{\frac{1}{3} j }{X+ j } - \frac{\frac{1}{3} j ^2}{X+ j ^2}$.
  \item
$\frac{X^3-2}{X^4(X^2+X+1)^2} = 
-\frac{2}{X^4}+\frac{4}{X^3}-\frac{2}{X^2}-\frac{3}{X} + 
\frac{X+1}{(X^2+X+1)^2} + \frac{3X+5}{X^2+X+1} = \newline
-\frac{2}{X^4}+\frac{4}{X^3}-\frac{2}{X^2}-\frac{3}{X} + 
\frac{\frac{1}{3} j ^2}{(X- j )^2} + \frac{\frac{1}{3} j }{(X- j ^2)^2} + 
\frac{\frac{3}{2}-\frac{23\sqrt{3}}{18} i }{X- j } + 
\frac{\frac{3}{2}+\frac{23\sqrt{3}}{18} i }{X- j ^2}$.
 \item
$\frac{X}{(X^2+1)(X^2+4)} = 
\frac{\frac{1}{3}X}{X^2+1} - \frac{\frac{1}{3}X}{X^2+4} = 
\frac{1/6}{X- i } + \frac{1/6}{X+ i } - \frac{1/6}{X-2 i } - 
\frac{1/6}{X+2 i }$.
  \item
$\frac{X^2-3}{(X^2+1)(X^2+4)} = 
-\frac{4/3}{X^2+1} + \frac{7/3}{X^2+4} = 
\frac{\frac{2}{3} i }{X- i } + \frac{-\frac{2}{3} i }{X+ i } + 
\frac{-\frac{7}{12} i }{X-2 i } + \frac{\frac{7}{12} i }{X+2 i }$.
\end{enumerate}
\end{correction}

\end{exo}


\begin{exo}
D\'ecomposition en \'el\'ements simples
 $\displaystyle\Phi={2x^4+x^3+3x^2-6x+1\over2x^3-x^2}.$ 


\begin{correction} 
Commencer par la division euclidienne~: $\Phi=x+1+\Phi_1$ avec $\Phi_1={4x^2-6x+1\over2x^3-x^2}.$\\
Puis factoriser le d\'enominateur. On a
\begin{equation}
\label{eq11}
\Phi_1={A\over x^2}+{B\over x}+{C\over x-{1\over2}}.
\end{equation}
On obtient
$${2x^4+x^3+3x^2-6x+1\over2x^3-x^2}=x+1-{1\over x^2}+{4\over x}-{2\over
x-{1\over2}}.$$
\end{correction}

\end{exo}


\begin{exo}
D\'ecomposer les fractions rationnelles suivantes :
 $$\frac{X^3}{X^3-1} \mbox{ sur } \R $$
 $$\frac{X^2 + X + 1}{ (X-1)^2 (X + 1)^2} \mbox{ sur } \R $$
 $$F (X) = \frac{1}{ (X^3-1)^2} \mbox{ sur } \C \mbox{ en remarquant que }
F (jX) = F (X)$$
$$\frac{X^7 + 1}{ (X^2 + 1) (X^2 + X + 1)} \mbox{ sur } \R $$
$$\frac{X^3 + X}{ (X^2 + X + 1)^2} \mbox{ sur } \R $$
\begin{correction}
 $$\frac{X^3}{X^3-1} =1+\frac{1}{X-1}+\frac{X+2}{X^2+X+1}.$$
 $$\frac{X^2 + X + 1}{ (X-1)^2 (X + 1)^2}=\frac{3/4}{(X-1)^2}+\frac{1/4}{(X+1)^2}.$$
 $$F(X)=-\frac{2}{9}\left(\frac{1}{X-1}+\frac{1}{X-j}+\frac{1}{X-j^2}\right)+\frac19\left(\frac{1}{(X-1)^2}+\frac{j^2}{(X-j)^2}+\frac{j}{(X-j^2)^2}\right).$$ 
$$\frac{X^7 + 1}{ (X^2 + 1) (X^2 + X + 1)}=X^3-X^2-X+2-\frac{X+1}{X^2+1}+\frac{X}{X^2+X+1}.$$
$$\frac{X^3 + X}{ (X^2 + X + 1)^2}=\frac{X-1}{X^2+X+1}+\frac{X+1}{(X^2+X+1)^2}. $$
\end{correction}
\end{exo}





\end{document}